Упр.12.47 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 12.47 а)система 2^2x + 2x*y=10, y2+y*2x=15. б)система 7^2x-7x*y=28, y2-y*7x=-12.

а) Обозначим $$t=2^x,$$ тогда $$t>0.$$ Система примет вид

$$ \begin{cases} t^2+t y=10,\\ y^2+y t=15. \end{cases} $$

Сложим уравнения:

$$ t^2+2ty+y^2=25, $$

то есть

$$ (t+y)^2=25. $$

Тогда

$$ t+y=5 \quad \text{или} \quad t+y=-5. $$

Так как $$t>0,$$ а из второго уравнения $$y^2+yt=15,$$ получаем подходящий случай $$t+y=5.$$ Тогда

$$ t=5-y. $$

Подставим в первое уравнение:

$$ (5-y)^2+y(5-y)=10. $$

Раскроем скобки:

$$ 25-10y+y^2+5y-y^2=10, $$

$$ 25-5y=10, $$

$$ y=3. $$

Тогда

$$ t=5-3=2, $$

значит

$$ 2^x=2,\quad x=1. $$

Проверка:

$$ 2^{2\cdot 1}+2^1\cdot 3=4+6=10,\qquad 3^2+3\cdot 2=9+6=15. $$

б) Обозначим $$t=7^x,$$ тогда $$t>0.$$ Получаем систему

$$ \begin{cases} t^2-t y=28,\\ y^2-y t=-12. \end{cases} $$

Сложим уравнения:

$$ t^2-2ty+y^2=16, $$

то есть

$$ (t-y)^2=16. $$

Следовательно,

$$ t-y=4 \quad \text{или} \quad t-y=-4. $$

Из первого уравнения

$$ t(t-y)=28. $$

Если $$t-y=4,$$ то $$4t=28,$$ откуда $$t=7,$$ значит $$x=1.$$ Тогда $$y=3.$$

Если $$t-y=-4,$$ то $$-4t=28,$$ откуда $$t=-7,$$ что невозможно, так как $$t=7^x>0.$$

Проверка:

$$ 7^{2\cdot 1}-7^1\cdot 3=49-21=28,\qquad 3^2-3\cdot 7=9-21=-12. $$

Ответ

а) $$\left(1;3\right)$$; б) $$\left(1;3\right).$$