Упр.12.45 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 12.45 а)система (корень 3)(x+2y) = корень 3*корень 27, 0,1x*10^3y=10; б)система 27y*3x=1, (1/2)x*4y=2; в)система (корень 5)(2x+y)=корень 1/5 * корень 5, (1/5)x*5y=125; г)система 5y*25x=625, (1/3)x*9y=1/27.

1. а)

   $$\begin{cases} (\sqrt{3})^{x+2y}=\sqrt{3}\cdot\sqrt{27},\\ 0{,}1^x\cdot 10^{3y}=10. \end{cases}$$

   $$\sqrt{3}\cdot\sqrt{27}=\sqrt{3}\cdot\sqrt{3^3}=(\sqrt{3})^4,$$
   значит
   $$x+2y=4.$$

   $$0{,}1^x\cdot 10^{3y}=10,$$
   $$10^{-x}\cdot 10^{3y}=10^1,$$
   $$10^{3y-x}=10^1,$$
   значит
   $$3y-x=1.$$

   Решим систему:
   $$\begin{cases} x+2y=4,\\ 3y-x=1. \end{cases}$$
   Из первого уравнения $$x=4-2y.$$ Подставим во второе:
   $$3y-(4-2y)=1,$$
   $$5y=5,$$
   $$y=1,$$
   $$x=4-2\cdot 1=2.$$

2. б)

   $$\begin{cases} 27^y\cdot 3^x=1,\\ \left(\dfrac12\right)^x\cdot 4^y=2. \end{cases}$$

   $$27^y\cdot 3^x=(3^3)^y\cdot 3^x=3^{3y+x}=1=3^0,$$
   значит
   $$3y+x=0.$$

   $$\left(\dfrac12\right)^x\cdot 4^y=2,$$
   $$2^{-x}\cdot 2^{2y}=2^1,$$
   $$2^{2y-x}=2^1,$$
   значит
   $$2y-x=1.$$

   Решим систему:
   $$\begin{cases} 3y+x=0,\\ 2y-x=1. \end{cases}$$
   Складываем уравнения:
   $$5y=1,$$
   $$y=0{,}2,$$
   $$x=-3y=-0{,}6.$$

3. в)

   $$\begin{cases} (\sqrt{5})^{2x+y}=\sqrt{\dfrac15}\cdot\sqrt{5},\\ \left(\dfrac15\right)^x\cdot 5^y=125. \end{cases}$$

   $$\sqrt{\dfrac15}\cdot\sqrt{5}=\sqrt{\dfrac15\cdot 5}=1=(\sqrt{5})^0,$$
   значит
   $$2x+y=0.$$

   $$\left(\dfrac15\right)^x\cdot 5^y=125,$$
   $$5^{-x}\cdot 5^y=5^3,$$
   $$5^{y-x}=5^3,$$
   значит
   $$y-x=3.$$

   Решим систему:
   $$\begin{cases} 2x+y=0,\\ y-x=3. \end{cases}$$
   Из первого уравнения $$y=-2x.$$ Подставим во второе:
   $$-2x-x=3,$$
   $$-3x=3,$$
   $$x=-1,$$
   $$y=-2\cdot(-1)=2.$$

4. г)

   $$\begin{cases} 5^y\cdot 25^x=625,\\ \left(\dfrac13\right)^x\cdot 9^y=\dfrac1{27}. \end{cases}$$

   $$5^y\cdot 25^x=5^y\cdot (5^2)^x=5^{y+2x}=625=5^4,$$
   значит
   $$y+2x=4.$$

   $$\left(\dfrac13\right)^x\cdot 9^y=3^{-x}\cdot (3^2)^y=3^{-x+2y}=\dfrac1{27}=3^{-3},$$
   значит
   $$2y-x=-3.$$

   Решим систему:
   $$\begin{cases} y+2x=4,\\ 2y-x=-3. \end{cases}$$
   Из первого уравнения $$y=4-2x.$$ Подставим во второе:
   $$2(4-2x)-x=-3,$$
   $$8-5x=-3,$$
   $$-5x=-11,$$
   $$x=2{,}2,$$
   $$y=4-2\cdot 2{,}2=-0{,}4.$$

Ответ

а) $$ (2;1) $$; б) $$ (-0{,}6;0{,}2) $$; в) $$ (-1;2) $$; г) $$ (2{,}2;-0{,}4) $$.