Упр.12.43 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 12.43. При каких значениях параметра а уравнение |3х-а| + |3х+а| = 2 имеет бесконечно много корней?

Обозначим $$t=3^x.$$ Тогда $$t>0$$ и уравнение принимает вид

$$|t-a|+|t+a|=2.$$

Рассмотрим случаи.

1. Если $$t\ge a$$ и $$t\ge -a,$$ то

   $$|t-a|+|t+a|=(t-a)+(t+a)=2t.$$

   Тогда

   $$2t=2 \Rightarrow t=1.$$

   Чтобы корней было бесконечно много, значение $$t=1$$ должно подходить при любом $$x$$, но это невозможно: уравнение $$3^x=1$$ имеет единственный корень $$x=0.$$

2. Если $$t\le a$$ и $$t\le -a,$$ то

   $$|t-a|+|t+a|=(a-t)+(-a-t)=-2t.$$

   Тогда

   $$-2t=2 \Rightarrow t=-1,$$

   что невозможно, так как $$t=3^x>0.$$

3. Если $$t\ge a$$ и $$t\le -a,$$ то

   $$|t-a|+|t+a|=(t-a)+(-a-t)=-2a.$$

   Получаем

   $$-2a=2 \Rightarrow a=-1.$$

   При $$a=-1$$ уравнение превращается в

   $$|t+1|+|t-1|=2.$$

   Для всех $$t\ge 1$$ левая часть равна $$2t,$$ а для $$0<t<1$$ — равна $$2.$$ Значит, при $$a=-1$$ уравнение выполняется для всех $$t\in(0,1],$$ то есть для бесконечно многих значений $$x.$$

4. Если $$t\le a$$ и $$t\ge -a,$$ то

   $$|t-a|+|t+a|=(a-t)+(t+a)=2a.$$

   Тогда

   $$2a=2 \Rightarrow a=1.$$

   При $$a=1$$ уравнение имеет бесконечно много решений, так как для всех $$t\in(0,1]$$ выполняется

   $$|t-1|+|t+1|=2.$$

Ответ

$$a=\pm 1.$$