Упр.12.42 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 12.42. При каких значениях параметра m уравнение х2 -( 2m-1)х — 3(4(m-1) — 2(m-2) = 0 имеет единственный корень?

Чтобы квадратное уравнение имело единственный корень, его дискриминант должен быть равен нулю:

$$x^2-(2^m-1)x-3(4^{m-1}-2^{m-2})=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(2^m-1)^2+4\cdot 3(4^{m-1}-2^{m-2}).$$

Преобразуем:

$$D=2^{2m}-2\cdot 2^m+1+12\cdot 4^{m-1}-12\cdot 2^{m-2}.$$

Так как $$4^{m-1}=2^{2m-2},$$ а $$12\cdot 2^{m-2}=3\cdot 2^m,$$ получаем

$$D=2^{2m}-2\cdot 2^m+1+3\cdot 2^{2m}-3\cdot 2^m=4\cdot 2^{2m}-5\cdot 2^m+1.$$

Пусть $$t=2^m$$, тогда $$t>0$$ и

$$4t^2-5t+1=0.$$

Решим уравнение:

$$D_1=25-16=9,$$

$$t_{1,2}=\frac{5\pm 3}{8}.$$

Тогда

$$t_1=1,\quad t_2=\frac14.$$

Возвращаясь к переменной $$m$$, получаем:

$$2^m=1 \Rightarrow m=0,$$

$$2^m=\frac14 \Rightarrow m=-2.$$

Ответ

$$m=-2,\ 0.$$