Упр.12.41 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 12.41. а) При каких значениях параметра а уравнение 9х + 3х + а2 — 14а = 0 имеет единственный корень? б) При каких значениях параметра а уравнение 4х — 3 * 2х + а2 — 4а = 0 имеет два корня?

а) Обозначим $$t=3^x.$$ Тогда $$t>0$$, и уравнение принимает вид

$$t^2+a^2-14a=0.$$

Это квадратное уравнение относительно $$t$$. Чтобы оно имело единственный корень по $$x$$, достаточно, чтобы уравнение по $$t$$ имело единственный положительный корень. Так как коэффициент при $$t^2$$ равен $$1$$, единственный корень получается при

$$a^2-14a<0.$$

Тогда

$$a(a-14)<0,$$

откуда

$$0<a<14.$$

б) Обозначим $$y=2^x.$$ Тогда $$y>0$$, и уравнение перепишется так:

$$y^2-3y+a^2-4a=0.$$

Чтобы исходное уравнение имело два корня, квадратное уравнение относительно $$y$$ должно иметь два различных положительных корня. Для этого нужно:

• $$D>0$$;
• $$y_1+y_2>0$$;
• $$y_1y_2>0.$$

По теореме Виета:

$$y_1+y_2=3>0,$$

$$y_1y_2=a^2-4a.$$

Значит, требуется

$$a^2-4a>0.$$

Кроме того, дискриминант должен быть положительным:

$$D=9-4(a^2-4a)>0,$$

$$-4a^2+16a+9>0.$$

Решим неравенство:

$$4a^2-16a-9<0.$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$D=16^2+4\cdot 4\cdot 9=400,$$

$$a_{1,2}=\frac{16\pm 20}{8}.$$

Отсюда

$$a_1=-\frac12,\qquad a_2=\frac92.$$

Тогда

$$-\frac12<a<\frac92.$$

Пересекаем это с условием $$a^2-4a>0$$:

$$a(a-4)>0,$$

то есть

$$a<0 \quad \text{или} \quad a>4.$$

Итак, получаем

$$a\in\left(-\frac12,0\right)\cup\left(4,\frac92\right).$$

Ответ

а) $$a\in(0;14).$$
б) $$a\in\left(-0{,}5;0\right)\cup(4;4{,}5).$$