Упр.12.40 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 12.40. При каких значениях параметра а уравнение не имеет корней: а) 48 * 4х + 27 = а + а * 4(x + 2); б) 9х + 2а * 3(х + 1) + 9 = 0?

а) $$48\cdot 4^x+27=a+a\cdot 4^{x+2}.$$

Преобразуем:

$$48\cdot 4^x+27=a+16a\cdot 4^x,$$

$$4^x(48-16a)=a-27,$$

$$4^x=\frac{a-27}{48-16a}=\frac{a-27}{16(3-a)}.$$

Так как $$4^x>0$$ при любых $$x,$$ то уравнение не имеет корней, если правая часть не положительна:

$$\frac{a-27}{16(3-a)}\le 0.$$

Так как $$16>0,$$ получаем

$$\frac{a-27}{3-a}\le 0,$$

или

$$\frac{a-27}{a-3}\ge 0.$$

Отсюда

$$a<3 \quad \text{или} \quad a\ge 27.$$

При $$a=3$$ получаем

$$48\cdot 4^x+27=3+3\cdot 4^{x+2},$$

$$48\cdot 4^x+27=3+48\cdot 4^x,$$

$$27=3,$$

что невозможно, значит, при $$a=3$$ корней тоже нет.

б) $$9^x+2a\cdot 3^{x+1}+9=0.$$

Положим $$t=3^x,$$ тогда $$t>0$$ и $$9^x=3^{2x}=t^2,$$ $$3^{x+1}=3t.$$ Получаем:

$$t^2+6at+9=0.$$

Чтобы уравнение не имело корней по $$x,$$ квадратное уравнение по $$t$$ не должно иметь положительных корней.

Дискриминант:

$$D=(6a)^2-4\cdot 1\cdot 9=36(a^2-1).$$

Если $$D<0,$$ то действительных корней нет:

$$a^2-1<0,$$

$$-1<a<1.$$

Если $$D\ge 0,$$ то корни по $$t$$ равны

$$t_{1,2}=\frac{-6a\pm 6\sqrt{a^2-1}}{2}=-3a\pm 3\sqrt{a^2-1}.$$

Нужно, чтобы оба корня были неположительными. Это выполняется при $$a\ge 1$$, так как тогда

$$t_1=-3a+3\sqrt{a^2-1}<0,$$

$$t_2=-3a-3\sqrt{a^2-1}<0.$$

Следовательно, уравнение не имеет корней при

$$a>-1.$$

Объединяя с первым случаем, получаем:

$$a\in(-1;+\infty).$$

Ответ

а) $$a\in(-\infty;3]\cup[27;+\infty);$$ б) $$a\in(-1;+\infty).$$