Упр.12.38 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 12.38. Решите уравнение: а) 9х + 6х = 2^(2х +1); б) 25^(2х + 6) + 16 * 4^(2х+4) = 20 * 10^(2х + 5).

а) Преобразуем уравнение:

$$9^x+6^x=2^{2x+1}$$
$$3^{2x}+2^x\cdot 3^x=2\cdot 2^{2x}$$
$$3^{2x}+2^x\cdot 3^x-2\cdot 2^{2x}=0$$

Введём замену:

$$t=\left(\frac{3}{2}\right)^x,\quad t>0$$

Тогда

$$\left(\frac{3}{2}\right)^{2x}+\left(\frac{3}{2}\right)^x-2=0$$
$$t^2+t-2=0$$
$$\left(t-1\right)\left(t+2\right)=0$$

Так как $$t>0$$, то подходит только $$t=1$$. Тогда

$$\left(\frac{3}{2}\right)^x=1$$
$$x=0$$

б) Перепишем уравнение в удобном виде:

$$25^{2x+6}+16\cdot 4^{2x+4}=20\cdot 10^{2x+5}$$
$$5^{4x+12}+2^4\cdot 2^{4x+8}=20\cdot 2^{2x+5}\cdot 5^{2x+5}$$

Разделим обе части на $$4^{2x+4}$$:

$$625\left(\frac{25}{4}\right)^{2x+4}+16=200\left(\frac{5}{2}\right)^{2x+4}$$

Введём замену:

$$y=\left(\frac{5}{2}\right)^{2x+4},\quad y>0$$

Тогда получаем квадратное уравнение:

$$625y^2-200y+16=0$$
$$\left(25y-4\right)^2=0$$
$$y=\frac{4}{25}$$

Возвращаемся к замене:

$$\left(\frac{5}{2}\right)^{2x+4}=\frac{4}{25}=\left(\frac{2}{5}\right)^2=\left(\frac{5}{2}\right)^{-2}$$
$$2x+4=-2$$
$$x=-3$$

Ответ

а) $$0$$; б) $$-3$$.