Упр.12.37 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 12.37 а)3*2x+6x-2*3^2x=0; б)2*2^2x-3*10x-5*5^2x=0; в)3(2x+1)-4*21x-7*7^2x=0; г)5*3^2x+7*15x-6*25x=0.

Подробный ответ

а) $$3\cdot 2^{2x}+6^x-2\cdot 3^{2x}=0$$
Разделим уравнение на $$3^{2x}$$:
$$3\left(\frac{2}{3}\right)^{2x}+\left(\frac{2}{3}\right)^x-2=0.$$
Пусть $$y=\left(\frac{2}{3}\right)^x$$, тогда получаем:
$$3y^2+y-2=0.$$
$$D=1+24=25,$$
$$y_1=\frac{-1-5}{6}=-1,\qquad y_2=\frac{-1+5}{6}=\frac{2}{3}.$$
Так как $$y=\left(\frac{2}{3}\right)^x>0,$$ значение $$y_1=-1$$ не подходит. Тогда
$$\left(\frac{2}{3}\right)^x=\frac{2}{3},\qquad x=1.$$
б) $$2\cdot 2^{2x}-3\cdot 10^x-5\cdot 5^{2x}=0$$
Разделим уравнение на $$5^{2x}$$:
$$2\left(\frac{2}{5}\right)^{2x}-3\left(\frac{2}{5}\right)^x-5=0.$$
Пусть $$y=\left(\frac{2}{5}\right)^x,$$ тогда:
$$2y^2-3y-5=0.$$
$$D=9+40=49,$$
$$y_1=\frac{3-7}{4}=-1,\qquad y_2=\frac{3+7}{4}=\frac{5}{2}.$$
Так как $$y=\left(\frac{2}{5}\right)^x>0,$$ значение $$y_1=-1$$ не подходит. Тогда
$$\left(\frac{2}{5}\right)^x=\frac{5}{2},\qquad x=-1.$$
в) $$3^{2x+1}-4\cdot 21^x-7\cdot 7^{2x}=0$$
Разделим уравнение на $$7^{2x}$$:
$$3\left(\frac{3}{7}\right)^{2x}-4\left(\frac{3}{7}\right)^x-7=0.$$
Пусть $$y=\left(\frac{3}{7}\right)^x,$$ тогда:
$$3y^2-4y-7=0.$$
$$D=16+84=100,$$
$$y_1=\frac{4-10}{6}=-1,\qquad y_2=\frac{4+10}{6}=\frac{7}{3}.$$
Так как $$y=\left(\frac{3}{7}\right)^x>0,$$ значение $$y_1=-1$$ не подходит. Тогда
$$\left(\frac{3}{7}\right)^x=\frac{7}{3},\qquad x=-1.$$
г) $$5\cdot 3^{2x}+7\cdot 15^x-6\cdot 25^x=0$$
Разделим уравнение на $$5^{2x}$$:
$$5\left(\frac{3}{5}\right)^{2x}+7\left(\frac{3}{5}\right)^x-6=0.$$
Пусть $$y=\left(\frac{3}{5}\right)^x,$$ тогда:
$$5y^2+7y-6=0.$$
$$D=49+120=169,$$
$$y_1=\frac{-7-13}{10}=-2,\qquad y_2=\frac{-7+13}{10}=\frac{3}{5}.$$
Так как $$y=\left(\frac{3}{5}\right)^x>0,$$ значение $$y_1=-2$$ не подходит. Тогда
$$\left(\frac{3}{5}\right)^x=\frac{3}{5},\qquad x=1.$$