Упр.12.36 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 12.36 а)5(2×2-1)-3*5(x+1)(x+2)=2*5^6(x+1); б)3(2×2-1)-3(x-1)(x+5)=2*3^8(x-1).

а) Разделим обе части уравнения на $$5^{6x+6}$$:

$$ 5^{2x^2-1}-3\cdot 5^{(x+1)(x+2)}=2\cdot 5^{6(x+1)} $$
$$ 5^{2x^2-6x-7}-3\cdot 5^{x^2-3x-4}=2 $$

Положим $$y=5^{x^2-3x-4}$$. Тогда получаем:

$$ 5y^2-3y-2=0 $$
$$ D=3^2+4\cdot 5\cdot 2=49 $$
$$ y_1=\frac{3-7}{10}=-\frac{2}{5}, \qquad y_2=\frac{3+7}{10}=1 $$

Так как $$5^{x^2-3x-4}>0$$, значение $$y=-\frac{2}{5}$$ не подходит. Остаётся:

$$ 5^{x^2-3x-4}=1 $$
$$ x^2-3x-4=0 $$
$$ (x-4)(x+1)=0 $$
$$ x=4 \text{ или } x=-1 $$

б) Разделим обе части уравнения на $$3^{8x-8}$$:

$$ 3^{2x^2-1}-3^{(x-1)(x+5)}=2\cdot 3^{8(x-1)} $$
$$ 3^{2x^2-8x+7}-3^{x^2-4x+3}=2 $$

Положим $$y=3^{x^2-4x+3}$$. Тогда:

$$ 3y^2-y-2=0 $$
$$ D=1^2+4\cdot 3\cdot 2=25 $$
$$ y_1=\frac{1-5}{6}=-\frac{2}{3}, \qquad y_2=\frac{1+5}{6}=1 $$

Так как $$3^{x^2-4x+3}>0$$, значение $$y=-\frac{2}{3}$$ не подходит. Тогда:

$$ 3^{x^2-4x+3}=1 $$
$$ x^2-4x+3=0 $$
$$ (x-1)(x-3)=0 $$
$$ x=1 \text{ или } x=3 $$

Ответ

а) $$-1,\ 4$$; б) $$1,\ 3$$.