Упр.12.34 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 12.34 а)18x-8*6x-9*2x=0; б)12x-6(x+1)+8*3x=0.

1. а) $$18^x-8\cdot 6^x-9\cdot 2^x=0$$

   Представим степени через основание $$2$$:

   $$18^x=(2\cdot 9)^x=2^x\cdot 9^x,\quad 6^x=(2\cdot 3)^x=2^x\cdot 3^x.$$

   Тогда

   $$2^x(9^x-8\cdot 3^x-9)=0.$$

   Так как $$2^x>0$$ при любом $$x$$, получаем

   $$9^x-8\cdot 3^x-9=0.$$

   Положим $$y=3^x$$. Тогда $$9^x=(3^x)^2=y^2$$, и уравнение принимает вид

   $$y^2-8y-9=0.$$

   Решим квадратное уравнение:

   $$D=8^2+4\cdot 9=64+36=100,$$

   $$y_{1,2}=\frac{8\pm 10}{2}.$$

   Получаем:

   $$y_1=9,\quad y_2=-1.$$

   Но $$y=3^x>0$$, значит $$y=-1$$ не подходит. Тогда

   $$3^x=9=3^2,$$

   откуда

   $$x=2.$$

2. б) $$12^x-6^{x+1}+8\cdot 3^x=0$$

   Представим всё через $$2^x$$ и $$3^x$$:

   $$12^x=(3\cdot 4)^x=3^x\cdot 2^{2x},\quad 6^{x+1}=6\cdot 6^x=6\cdot 2^x\cdot 3^x.$$

   Тогда

   $$3^x\cdot 2^{2x}-6\cdot 2^x\cdot 3^x+8\cdot 3^x=0,$$

   $$3^x\left(2^{2x}-6\cdot 2^x+8\right)=0.$$

   Так как $$3^x>0$$, имеем

   $$2^{2x}-6\cdot 2^x+8=0.$$

   Положим $$y=2^x$$. Тогда

   $$y^2-6y+8=0.$$

   Решим уравнение:

   $$D=6^2-4\cdot 8=36-32=4,$$

   $$y_{1,2}=\frac{6\pm 2}{2}.$$

   Получаем:

   $$y_1=4,\quad y_2=2.$$

   Следовательно,

   $$2^x=4=2^2 \Rightarrow x=2,$$

   $$2^x=2=2^1 \Rightarrow x=1.$$

Ответ

а) $$x=2$$; б) $$x=1,\ 2$$.