Упр.12.33 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 12.33 а)(2x+1)/(2(x+2)-2))=1 б)(5(4x-1) + 3)/(5^4x — 3)=2; в)(3(x+1)-1)/(3x+4)=2 г)(7^2x — 1)/(7(2x-1)+1)=3.

1. а) $$\frac{2^x+1}{2^{x+2}-2}=1$$

   Так как $$2^{x+2}=4\cdot 2^x$$, получаем:

   $$2^x+1=2^{x+2}-2=4\cdot 2^x-2$$

   $$2^x-4\cdot 2^x=-2-1$$

   $$-3\cdot 2^x=-3$$

   $$2^x=1$$

   $$x=0$$

2. б) $$\frac{5^{4x-1}+3}{5^{4x}-3}=2$$

   Пусть $$t=5^{4x}$$, тогда $$5^{4x-1}=\frac{t}{5}$$. Получаем:

   $$\frac{t/5+3}{t-3}=2$$

   $$\frac{t}{5}+3=2(t-3)$$

   $$\frac{t}{5}+3=2t-6$$

   $$\frac{t}{5}-2t=-9$$

   $$\frac{t-10t}{5}=-9$$

   $$- \frac{9t}{5}=-9$$

   $$t=5$$

   $$5^{4x}=5$$

   $$4x=1$$

   $$x=\frac14$$

3. в) $$\frac{3^{x+1}-1}{3^x+4}=2$$

   $$3\cdot 3^x-1=2(3^x+4)$$

   $$3\cdot 3^x-1=2\cdot 3^x+8$$

   $$3^x=9$$

   $$x=2$$

4. г) $$\frac{7^{2x}-1}{7^{2x-1}+1}=3$$

   $$7^{2x}-1=3(7^{2x-1}+1)$$

   Так как $$7^{2x-1}=\frac{7^{2x}}{7}$$, имеем:

   $$7^{2x}-1=3\left(\frac{7^{2x}}{7}+1\right)$$

   $$7^{2x}-1=\frac{3}{7}\cdot 7^{2x}+3$$

   $$7^{2x}-\frac{3}{7}\cdot 7^{2x}=4$$

   $$\frac{4}{7}\cdot 7^{2x}=4$$

   $$7^{2x}=7$$

   $$2x=1$$

   $$x=\frac12$$

Ответ

а) $$0$$; б) $$\frac14$$; в) $$2$$; г) $$\frac12$$.