Упр.12.31 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 12.31 а)32x+4(x+1)=5*2(-x); б)5*125x-26*5x+5(1-x)=0.

а) Пусть $$t=2^x,$$ тогда $$t>0.$$

Преобразуем уравнение:

$$32^x+4^{x+1}=5\cdot 2^{-x}$$

$$2^{5x}+4\cdot 2^{2x}-5\cdot 2^{-x}=0$$

Умножим на $$2^x$$:

$$2^{6x}+4\cdot 2^{3x}-5=0$$

Так как $$t=2^x,$$ получаем:

$$t^6+4t^3-5=0.$$

Обозначим $$y=t^3,$$ тогда

$$y^2+4y-5=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D=4^2-4\cdot 1\cdot(-5)=16+20=36,$$

$$y_{1,2}=\frac{-4\pm 6}{2}.$$

Отсюда

$$y_1=1,\quad y_2=-5.$$

Но $$y=t^3>0,$$ значит подходит только $$y=1.$$ Тогда

$$t^3=1,\quad t=1,$$

$$2^x=1,\quad x=0.$$

б) Пусть $$t=5^x,$$ тогда $$t>0.$$

Преобразуем уравнение:

$$5\cdot 125^x-26\cdot 5^x+5^{1-x}=0$$

$$5\cdot 5^{3x}-26\cdot 5^x+5\cdot 5^{-x}=0$$

Умножим на $$5^x$$:

$$5\cdot 5^{4x}-26\cdot 5^{2x}+5=0.$$

Обозначим $$y=5^{2x},$$ тогда

$$5y^2-26y+5=0.$$

Найдём корни:

$$D=26^2-4\cdot 5\cdot 5=676-100=576,$$

$$y_{1,2}=\frac{26\pm 24}{10}.$$

Получаем:

$$y_1=5,\quad y_2=\frac{1}{5}.$$

Тогда

$$5^{2x}=5 \Rightarrow 2x=1 \Rightarrow x=\frac12,$$

$$5^{2x}=\frac15 \Rightarrow 2x=-1 \Rightarrow x=-\frac12.$$

Ответ

а) $$x=0$$; б) $$x=\pm \frac12$$.