Упр.12.30 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 12.30 а)3(3x+1) — 4*9x=17*3x-6; б)32*8(x-1)+3*(4x+2x)=1.

Подробный ответ

а)

$$3^{3x+1}-4\cdot 9^x=17\cdot 3^x-6$$
$$3\cdot 3^{3x}-4\cdot 3^{2x}=17\cdot 3^x-6$$
$$3\cdot 3^{3x}-4\cdot 3^{2x}-17\cdot 3^x+6=0$$
Положим $$t=3^x$$, тогда $$t>0$$ и получаем:
$$3t^3-4t^2-17t+6=0$$
Разложим на множители:
$$3t^3-4t^2-17t+6=(t^2-1)(3t-6)=(t-1)(t+1)(3t-6)$$
Так как $$t>0$$, то $$t+1\neq 0$$. Тогда:
$$t-1=0 \quad \text{или} \quad 3t-6=0$$
$$t=1 \quad \text{или} \quad t=2$$
Возвращаясь к переменной $$x$$, получаем:
$$3^x=1 \Rightarrow x=0,$$
$$3^x=2 \Rightarrow x=\log_3 2.$$

б)

$$32\cdot 8^{x-1}+3(4^x+2^x)=1$$
$$32\cdot \frac{1}{8}\cdot 2^{3x}+3\cdot 2^{2x}+3\cdot 2^x=1$$
$$4\cdot 2^{3x}+3\cdot 2^{2x}+3\cdot 2^x-1=0$$
Положим $$y=2^x$$, тогда $$y>0$$ и:
$$4y^3+3y^2+3y-1=0$$
Проверим корень $$y=\frac12$$:
$$4\left(\frac12\right)^3+3\left(\frac12\right)^2+3\left(\frac12\right)-1=0$$
Значит,
$$4y^3+3y^2+3y-1=(2y-1)(2y^2+2y+1)$$
Так как
$$2y^2+2y+1>0,$$
то
$$2y-1=0 \Rightarrow y=\frac12.$$
Следовательно,
$$2^x=\frac12=2^{-1}, \quad x=-1.$$