Упр.12.29 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 12.29 а)(2-корень 3)x + (2+ корень 3)x — 4=0; б)(3-2 корень 2)x + (3+2 корень 2)x — 6=0

а) Обозначим $$y=(2-\sqrt{3})^x.$$ Тогда, так как $$2+\sqrt{3}=\frac{1}{2-\sqrt{3}},$$ получаем

$$ (2-\sqrt{3})^x+(2+\sqrt{3})^x-4=0 $$
$$ y+\frac{1}{y}-4=0 $$
$$ y^2-4y+1=0. $$

Найдём корни квадратного уравнения:

$$ D=16-4=12, $$
$$ y=\frac{4\pm\sqrt{12}}{2}=2\pm\sqrt{3}. $$

Тогда

$$ (2-\sqrt{3})^x=2-\sqrt{3}\quad \Rightarrow \quad x=1, $$
$$ (2-\sqrt{3})^x=2+\sqrt{3}=\frac{1}{2-\sqrt{3}}\quad \Rightarrow \quad x=-1. $$

б) Обозначим $$y=(3-2\sqrt{2})^x.$$ Тогда, поскольку $$3+2\sqrt{2}=\frac{1}{3-2\sqrt{2}},$$ имеем

$$ (3-2\sqrt{2})^x+(3+2\sqrt{2})^x-6=0 $$
$$ y+\frac{1}{y}-6=0 $$
$$ y^2-6y+1=0. $$

Решим уравнение:

$$ D=36-4=32, $$
$$ y=\frac{6\pm\sqrt{32}}{2}=3\pm2\sqrt{2}. $$

Следовательно,

$$ (3-2\sqrt{2})^x=3-2\sqrt{2}\quad \Rightarrow \quad x=1, $$
$$ (3-2\sqrt{2})^x=3+2\sqrt{2}=\frac{1}{3-2\sqrt{2}}\quad \Rightarrow \quad x=-1. $$

Ответ

а) $$x=\pm1$$; б) $$x=\pm1$$.