Упр.12.28 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Решите уравнение: а) (19 — 6 корень 10)x+6*(корень 10 — 3)x — 1-0; б) (корень 10 — 3)4x — 6*(19-6 корень 10)x — 1=0.

а) Заметим, что

$$19-6\sqrt{10}=(\sqrt{10}-3)^2.$$

Тогда уравнение можно записать так:

$$ (\sqrt{10}-3)^{2x}+6(\sqrt{10}-3)^x-1=0. $$

Введём новую переменную:

$$y=(\sqrt{10}-3)^x,\quad y>0.$$

Получаем квадратное уравнение:

$$y^2+6y-1=0.$$

Найдём корни:

$$ D=6^2-4\cdot 1\cdot(-1)=36+4=40, $$

$$ y=\frac{-6\pm\sqrt{40}}{2}=-3\pm\sqrt{10}. $$

Так как $$y>0,$$ подходит только значение

$$y=-3+\sqrt{10}.$$

Тогда

$$ (\sqrt{10}-3)^x=\sqrt{10}-3. $$

Следовательно,

$$x=1.$$

б) Аналогично,

$$19-6\sqrt{10}=(\sqrt{10}-3)^2,$$

поэтому

$$ (\sqrt{10}-3)^{4x}-6(\sqrt{10}-3)^{2x}-1=0. $$

Введём переменную

$$y=(\sqrt{10}-3)^{2x},\quad y>0.$$

Тогда получаем:

$$y^2-6y-1=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$ D=(-6)^2-4\cdot 1\cdot(-1)=36+4=40, $$

$$ y=\frac{6\pm\sqrt{40}}{2}=3\pm\sqrt{10}. $$

Так как $$y>0,$$ подходит только

$$y=3+\sqrt{10}.$$

Заметим, что

$$ 3+\sqrt{10}=\frac{1}{\sqrt{10}-3}=(\sqrt{10}-3)^{-1}. $$

Значит,

$$ (\sqrt{10}-3)^{2x}=(\sqrt{10}-3)^{-1}, $$

откуда

$$2x=-1,\quad x=-\frac12.$$

Ответ

а) $$1$$; б) $$-\frac12$$.