Упр.12.27 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 12.27 а)2(x2+2x-6) — 2(7-2x-x2)=3,5; б)3(2×2+x)=26+3(3-x-2×2).

1. а) $$2^{x^2+2x-6}-2^{7-2x-x^2}=3{,}5$$

   Преобразуем второе слагаемое:

   $$2^{7-2x-x^2}=\frac{1}{2^{x^2+2x-7}}.$$

   Обозначим $$y=2^{x^2+2x-7}$$, тогда $$y>0$$ и получаем:

   $$2y-\frac{1}{y}=3{,}5.$$

   Умножим на $$2y$$:

   $$ 4y^2-2=7y $$
   $$ 4y^2-7y-2=0 $$

   $$D=49+32=81,$$

   $$ y_{1,2}=\frac{7\pm 9}{8} $$
   $$ y_1=-\frac14,\quad y_2=2. $$

   Так как $$y>0$$, значение $$y_1=-\frac14$$ не подходит. Тогда

   $$2^{x^2+2x-7}=2,$$

   $$x^2+2x-7=1,$$

   $$ x^2+2x-8=0 $$
   $$ (x+4)(x-2)=0 $$
   $$ x=-4 \text{ или } x=2. $$

2. б) $$3^{2x^2+x}=26+3^{3-x-2x^2}$$

   Заметим, что

   $$3^{3-x-2x^2}=\frac{27}{3^{2x^2+x}}.$$

   Обозначим $$t=3^{2x^2+x}$$, тогда $$t>0$$ и

   $$ t=26+\frac{27}{t} $$
   $$ t^2-26t-27=0. $$

   $$D=676+108=784,$$

   $$ t_{1,2}=\frac{26\pm 28}{2} $$
   $$ t_1=-1,\quad t_2=27. $$

   Так как $$t>0$$, значение $$t_1=-1$$ не подходит. Тогда

   $$3^{2x^2+x}=27=3^3,$$

   $$2x^2+x=3,$$

   $$ 2x^2+x-3=0 $$
   $$ D=1+24=25 $$
   $$ x_{1,2}=\frac{-1\pm 5}{4} $$
   $$ x_1=-\frac32,\quad x_2=1. $$

Ответ

а) $$-4; 2$$; б) $$-\frac32; 1$$.