Упр.12.25 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 12.25 а)(корень 7)(2x+2 — 50*(корень 7)x+7=0; б)(корень 6)(2x+2) — 37*(корень 6)x+6=0.

Подробный ответ

а) $$\left(\sqrt{7}\right)^{2x+2}-50\left(\sqrt{7}\right)^x+7=0.$$
Преобразуем первый член:
$$7\left(\sqrt{7}\right)^{2x}-50\left(\sqrt{7}\right)^x+7=0.$$
Пусть $$y=\left(\sqrt{7}\right)^x,$$ тогда получаем квадратное уравнение:
$$7y^2-50y+7=0.$$
Найдём дискриминант:
$$D=50^2-4\cdot 7\cdot 7=2500-196=2304.$$
Тогда
$$y_{1,2}=\frac{50\pm 48}{2\cdot 7}.$$
Отсюда
$$y_1=\frac{1}{7}, \qquad y_2=7.$$
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$\left(\sqrt{7}\right)^x=\frac{1}{7}=\left(\sqrt{7}\right)^{-2}, \qquad x=-2,$$
$$\left(\sqrt{7}\right)^x=7=\left(\sqrt{7}\right)^2, \qquad x=2.$$
б) $$\left(\sqrt{6}\right)^{2x+2}-37\left(\sqrt{6}\right)^x+6=0.$$
Преобразуем первый член:
$$6\left(\sqrt{6}\right)^{2x}-37\left(\sqrt{6}\right)^x+6=0.$$
Пусть $$y=\left(\sqrt{6}\right)^x,$$ тогда:
$$6y^2-37y+6=0.$$
Вычислим дискриминант:
$$D=37^2-4\cdot 6\cdot 6=1369-144=1225.$$
Тогда
$$y_{1,2}=\frac{37\pm 35}{2\cdot 6}.$$
Получаем:
$$y_1=\frac{1}{6}, \qquad y_2=6.$$
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$\left(\sqrt{6}\right)^x=\frac{1}{6}=\left(\sqrt{6}\right)^{-2}, \qquad x=-2,$$
$$\left(\sqrt{6}\right)^x=6=\left(\sqrt{6}\right)^2, \qquad x=2.$$