Упр.12.24 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 12.24 а)2(2x+1)-5*2x-88=0; б)(1/2)2x-(1/2)(x-2)-32=0; в)5(2x+1)-26*5x+5-0; г)(1/3)2x+(1/3)(x-2)-162=0.

а) $$2^{2x+1}-5\cdot 2^x-88=0$$

$$2\cdot 2^{2x}-5\cdot 2^x-88=0$$

Пусть $$y=2^x$$, тогда получаем:

$$2y^2-5y-88=0$$

$$D=5^2+4\cdot 2\cdot 88=25+704=729$$

$$y_{1,2}=\frac{5\pm 27}{4}$$

$$y_1=-\frac{11}{2},\quad y_2=8$$

Так как $$2^x>0$$, значение $$y_1$$ не подходит. Тогда

$$2^x=8$$

$$x=3$$

б) $$\left(\frac12\right)^{2x}-\left(\frac12\right)^{x-2}-32=0$$

$$\left(\frac12\right)^{2x}-\left(\frac12\right)^x\cdot \left(\frac12\right)^{-2}-32=0$$

Пусть $$y=\left(\frac12\right)^x$$, тогда:

$$y^2-4y-32=0$$

$$D=4^2+4\cdot 32=16+128=144$$

$$y_{1,2}=\frac{4\pm 12}{2}$$

$$y_1=-4,\quad y_2=8$$

Так как $$\left(\frac12\right)^x>0$$, значение $$y_1$$ не подходит. Тогда

$$\left(\frac12\right)^x=8$$

$$2^{-x}=2^3$$

$$x=-3$$

в) $$5^{2x+1}-26\cdot 5^x+5=0$$

$$5\cdot 5^{2x}-26\cdot 5^x+5=0$$

Пусть $$y=5^x$$, тогда:

$$5y^2-26y+5=0$$

$$D=26^2-4\cdot 5\cdot 5=676-100=576$$

$$y_{1,2}=\frac{26\pm 24}{10}$$

$$y_1=\frac15,\quad y_2=5$$

Тогда

$$5^x=\frac15 \Rightarrow x=-1$$

$$5^x=5 \Rightarrow x=1$$

г) $$\left(\frac13\right)^{2x}+\left(\frac13\right)^{x-2}-162=0$$

$$\left(\frac13\right)^{2x}+\left(\frac13\right)^x\cdot \left(\frac13\right)^{-2}-162=0$$

Пусть $$y=\left(\frac13\right)^x$$, тогда:

$$y^2+9y-162=0$$

$$D=9^2+4\cdot 162=81+648=729$$

$$y_{1,2}=\frac{-9\pm 27}{2}$$

$$y_1=-18,\quad y_2=9$$

Так как $$\left(\frac13\right)^x>0$$, значение $$y_1$$ не подходит. Тогда

$$\left(\frac13\right)^x=9$$

$$3^{-x}=3^2$$

$$x=-2$$

Ответ

а) $$3$$; б) $$-3$$; в) $$-1,\,1$$; г) $$-2$$.