Упр.12.23 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 12.23 а)4*(1/16)x — 17*(1/4)x+4=0; б)0,01x+9,9*(0,1)x-1=0; в)3*(4/9)x + 7(2/3)x-6=0; г)5*(4/25)x + 23*(2/5)x-10=0.

Подробный ответ

а) Обозначим $$y=\left(\frac14\right)^x$$. Тогда
$$4\left(\frac1{16}\right)^x-17\left(\frac14\right)^x+4=0$$
$$4\left(\left(\frac14\right)^2\right)^x-17y+4=0$$
$$4y^2-17y+4=0$$
$$D=17^2-4\cdot4\cdot4=225$$
$$y_{1,2}=\frac{17\pm15}{8}$$
$$y_1=\frac14,\quad y_2=4$$
Тогда
$$\left(\frac14\right)^x=\frac14 \Rightarrow x=1$$
$$\left(\frac14\right)^x=4 \Rightarrow x=-1$$
Значит, $$x=\pm1$$.
б) Пусть $$y=(0{,}1)^x$$. Тогда
$$0{,}01^x+9{,}9\cdot(0{,}1)^x-1=0$$
$$\left((0{,}1)^x\right)^2+9{,}9y-1=0$$
$$y^2+9{,}9y-1=0$$
Умножим на $$10$$:
$$10y^2+99y-10=0$$
$$D=99^2+4\cdot10\cdot10=10201$$
$$y_{1,2}=\frac{-99\pm101}{20}$$
$$y_1=-10,\quad y_2=0{,}1$$
Так как $$y=(0{,}1)^x>0$$, значение $$y=-10$$ не подходит. Остаётся
$$\left(0{,}1\right)^x=0{,}1 \Rightarrow x=1$$.
в) Пусть $$y=\left(\frac23\right)^x$$. Тогда
$$3\left(\frac49\right)^x+7\left(\frac23\right)^x-6=0$$
$$3\left(\left(\frac23\right)^2\right)^x+7y-6=0$$
$$3y^2+7y-6=0$$
$$D=7^2+4\cdot3\cdot6=121$$
$$y_{1,2}=\frac{-7\pm11}{6}$$
$$y_1=-3,\quad y_2=\frac23$$
Так как $$y=\left(\frac23\right)^x>0$$, значение $$y=-3$$ не подходит. Тогда
$$\left(\frac23\right)^x=\frac23 \Rightarrow x=1$$.
г) Пусть $$y=\left(\frac25\right)^x$$. Тогда
$$5\left(\frac4{25}\right)^x+23\left(\frac25\right)^x-10=0$$
$$5\left(\left(\frac25\right)^2\right)^x+23y-10=0$$
$$5y^2+23y-10=0$$
$$D=23^2+4\cdot5\cdot10=729$$
$$y_{1,2}=\frac{-23\pm27}{10}$$
$$y_1=-5,\quad y_2=\frac25$$
Так как $$y=\left(\frac25\right)^x>0$$, значение $$y=-5$$ не подходит. Тогда
$$\left(\frac25\right)^x=\frac25 \Rightarrow x=1$$.