Упр.12.22 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Решите уравнение: 12.22 а) 2*4x-5*2x+2=0; б)3*9x-10*3x+3=0; в)4*(1/16)x+15*(1/4)x-4=0; г)(0,25)x+1,5(0,5)x-1=0.

Подробный ответ

а) $$2\cdot 4^x-5\cdot 2^x+2=0.$$
Так как $$4^x=(2^x)^2,$$ положим $$y=2^x,$$ тогда получаем:
$$2y^2-5y+2=0.$$
$$D=25-16=9,$$
$$y_{1,2}=\frac{5\pm 3}{4},$$
$$y_1=\frac12,\quad y_2=2.$$
Тогда:
$$2^x=\frac12 \Rightarrow x=-1,$$
$$2^x=2 \Rightarrow x=1.$$
б) $$3\cdot 9^x-10\cdot 3^x+3=0.$$
Поскольку $$9^x=(3^x)^2,$$ положим $$y=3^x.$$ Тогда:
$$3y^2-10y+3=0.$$
$$D=100-36=64,$$
$$y_{1,2}=\frac{10\pm 8}{6},$$
$$y_1=\frac13,\quad y_2=3.$$
Следовательно:
$$3^x=\frac13 \Rightarrow x=-1,$$
$$3^x=3 \Rightarrow x=1.$$
в) $$4\left(\frac{1}{16}\right)^x+15\left(\frac14\right)^x-4=0.$$
Заметим, что $$\left(\frac{1}{16}\right)^x=\left(\frac14\right)^{2x}.$$ Положим $$y=\left(\frac14\right)^x,$$ тогда:
$$4y^2+15y-4=0.$$
$$D=225+64=289,$$
$$y_{1,2}=\frac{-15\pm 17}{8},$$
$$y_1=-4,\quad y_2=\frac14.$$
Так как $$\left(\frac14\right)^x>0,$$ значение $$y=-4$$ не подходит. Остаётся:
$$\left(\frac14\right)^x=\frac14 \Rightarrow x=1.$$
г) $$(0{,}25)^x+1{,}5\cdot (0{,}5)^x-1=0.$$
Так как $$0{,}25=(0{,}5)^2,$$ положим $$y=(0{,}5)^x.$$ Тогда:
$$y^2+1{,}5y-1=0.$$
Умножим на 2:
$$2y^2+3y-2=0.$$
$$D=9+16=25,$$
$$y_{1,2}=\frac{-3\pm 5}{4},$$
$$y_1=-2,\quad y_2=\frac12.$$
Так как $$ (0{,}5)^x>0,$$ значение $$y=-2$$ не подходит. Тогда:
$$ (0{,}5)^x=\frac12 \Rightarrow x=1.$$