Упр.12.21 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 12.21 а)2^2x — 6*2x+8=0; б)3^2x — 6*3x — 27=0; в)(1/6)x-5*(1/6)x — 6=0; г)(1/6)2x + 5*(1/6)x — 6=0.

1. а) Пусть $$y=2^x$$, тогда уравнение принимает вид

   $$y^2-6y+8=0.$$

   Решим квадратное уравнение:

   $$D=6^2-4\cdot 8=36-32=4,$$

   $$y_{1,2}=\frac{6\pm 2}{2}.$$

   Получаем $$y_1=2,$$ $$y_2=4.$$

   Тогда

   $$2^x=2 \Rightarrow x=1,$$

   $$2^x=4=2^2 \Rightarrow x=2.$$

2. б) Пусть $$y=3^x$$, тогда

   $$y^2-6y-27=0.$$

   Найдём корни:

   $$D=6^2+4\cdot 27=36+108=144,$$

   $$y_{1,2}=\frac{6\pm 12}{2}.$$

   Получаем $$y_1=-3,$$ $$y_2=9.$$

   Так как $$3^x>0$$ при любом $$x,$$ значение $$y=-3$$ не подходит. Остаётся

   $$3^x=9=3^2 \Rightarrow x=2.$$

3. в) Пусть $$y=\left(\frac16\right)^x,$$ тогда

   $$y^2-5y-6=0.$$

   Решим уравнение:

   $$D=5^2+4\cdot 6=25+24=49,$$

   $$y_{1,2}=\frac{5\pm 7}{2}.$$

   Получаем $$y_1=-1,$$ $$y_2=6.$$

   Так как $$\left(\frac16\right)^x>0,$$ значение $$y=-1$$ не подходит. Тогда

   $$\left(\frac16\right)^x=6=\left(\frac16\right)^{-1} \Rightarrow x=-1.$$

4. г) Пусть $$y=\left(\frac16\right)^x,$$ тогда

   $$y^2+5y-6=0.$$

   Находим корни:

   $$D=5^2+4\cdot 6=25+24=49,$$

   $$y_{1,2}=\frac{-5\pm 7}{2}.$$

   Получаем $$y_1=-6,$$ $$y_2=1.$$

   Так как $$\left(\frac16\right)^x>0,$$ значение $$y=-6$$ не подходит. Тогда

   $$\left(\frac16\right)^x=1 \Rightarrow x=0.$$

Ответ

а) $$1, 2$$; б) $$2$$; в) $$-1$$; г) $$0$$.