Упр.12.12 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 12.11 а)27^корень (x-1)= корень 9^(x+1); б)2^корень (13-x2)=корень 2*корень 32; в)3x*(1/3)^корень (x+1)=243; г)(0,1^корень (x+1))^корень (x+6)=1/10^6.
$$27^{\sqrt{x-1}}=\sqrt{9^{x+1}}$$
$$\left(3^3\right)^{\sqrt{x-1}}=\sqrt{\left(3^2\right)^{x+1}}$$
$$3^{3\sqrt{x-1}}=3^{x+1}$$
$$3\sqrt{x-1}=x+1$$
$$9(x-1)=x^2+2x+1$$
$$x^2-7x+10=0$$
$$D=49-40=9$$
$$x_{1,2}=\frac{7\pm 3}{2}$$
$$x_1=2,\quad x_2=5$$
Проверка области допустимых значений: $$x-1\ge 0$$, значит $$x\ge 1$$. Оба корня подходят.
$$2^{\sqrt{13-x^2}}=\sqrt{2}\cdot \sqrt{32}$$
$$2^{\sqrt{13-x^2}}=2^{\frac12}\cdot 2^{\frac52}=2^3$$
$$\sqrt{13-x^2}=3$$
$$13-x^2=9$$
$$x^2=4$$
$$x=\pm 2$$
Проверка ОДЗ: $$13-x^2\ge 0$$, оба значения подходят.
$$3^x\cdot \left(\frac13\right)^{\sqrt{x+1}}=243$$
$$3^x\cdot 3^{-\sqrt{x+1}}=3^5$$
$$3^{x-\sqrt{x+1}}=3^5$$
$$x-\sqrt{x+1}=5$$
$$\sqrt{x+1}=x-5$$
$$x+1=x^2-10x+25$$
$$x^2-11x+24=0$$
$$D=121-96=25$$
$$x_{1,2}=\frac{11\pm 5}{2}$$
$$x_1=3,\quad x_2=8$$
Проверка ОДЗ: $$x-5\ge 0$$, значит $$x\ge 5$$. Подходит только $$x=8$$.
$$\left(0{,}1^{\sqrt{x+1}}\right)^{\sqrt{x+6}}=\frac{1}{10^6}$$
$$0{,}1^{\sqrt{x+1}\cdot \sqrt{x+6}}=0{,}1^6$$
$$\sqrt{(x+1)(x+6)}=6$$
$$x^2+7x+6=36$$
$$x^2+7x-30=0$$
$$D=49+120=169$$
$$x_{1,2}=\frac{-7\pm 13}{2}$$
$$x_1=-10,\quad x_2=3$$
Проверка ОДЗ: $$x+1\ge 0$$, значит $$x\ge -1$$. Подходит только $$x=3$$.
Ответ
а) $$2,\,5$$; б) $$-2,\,2$$; в) $$8$$; г) $$3$$.
