Упр.12.19 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 12.19 а)2^3x — 6*2^2x+12*2x-8 = 0; б)(1/2)3x-12*(1/2)2x + 48*(1/2)x-64=0; в)5x+6*(корень 3 степени 25)x+12*(корень 3 степени 5)x+8=343; г)2x+3*(корень 3 степени 4)x + 3*(корень 3 степени 2)x+1=27.

1. Положим $$t=2^x$$, тогда $$t>0$$. Получаем:

   $$ 2^{3x}-6\cdot 2^{2x}+12\cdot 2^x-8=0 $$

   $$ t^3-6t^2+12t-8=0 $$

   $$ (t-2)^3=0 $$

   $$ t=2 $$

   $$ 2^x=2 \Rightarrow x=1 $$

2. Положим $$t=\left(\frac12\right)^x$$, тогда $$t>0$$. Имеем:

   $$ \left(\frac12\right)^{3x}-12\left(\frac12\right)^{2x}+48\left(\frac12\right)^x-64=0 $$

   $$ t^3-12t^2+48t-64=0 $$

   $$ (t-4)^3=0 $$

   $$ t=4 $$

   $$ \left(\frac12\right)^x=4=\left(\frac12\right)^{-2} \Rightarrow x=-2 $$

3. Положим $$t=\sqrt[3]{5^x}$$, тогда $$t>0$$. Тогда:

   $$ 5^x+6\left(\sqrt[3]{25}\right)^x+12\left(\sqrt[3]{5}\right)^x+8=343 $$

   $$ t^3+6t^2+12t+8=343 $$

   $$ (t+2)^3=7^3 $$

   $$ t+2=7 $$

   $$ t=5 $$

   $$ \sqrt[3]{5^x}=5 \Rightarrow 5^{x/3}=5^1 \Rightarrow \frac{x}{3}=1 \Rightarrow x=3 $$

4. Положим $$t=2^{x/3}$$, тогда $$t>0$$. Получаем:

   $$ 2^x+3\left(\sqrt[3]{4}\right)^x+3\left(\sqrt[3]{2}\right)^x+1=27 $$

   $$ t^3+3t^2+3t+1=27 $$

   $$ (t+1)^3=3^3 $$

   $$ t+1=3 $$

   $$ t=2 $$

   $$ 2^{x/3}=2^1 \Rightarrow \frac{x}{3}=1 \Rightarrow x=3 $$

Ответ

а) $$1$$; б) $$-2$$; в) $$3$$; г) $$3$$.