Упр.12.16 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 12.16 а)4( корень 5 — 2)(x-12)=(2/(корень 5 + 2))(x-12); б)9(3-корень 8)(2x+1)=(3/(3+корень 8))(2x+1)

а) Представим правую часть как степень с основанием, обратным левому:

$$ 4(\sqrt{5}-2)^{x-12}=\left(\frac{2}{\sqrt{5}+2}\right)^{x-12} $$

Так как

$$ 4=2^2,\qquad (\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)=5-4=1, $$

то

$$ \frac{2}{\sqrt{5}+2}=2(\sqrt{5}-2). $$

Тогда уравнение можно записать так:

$$ 2^2(\sqrt{5}-2)^{x-12}=\bigl(2(\sqrt{5}-2)\bigr)^{x-12}=2^{x-12}(\sqrt{5}-2)^{x-12}. $$

Сократим одинаковые множители:

$$ 2^2=2^{x-12}. $$

Следовательно,

$$ x-12=2,\qquad x=14. $$

б) Аналогично:

$$ 9(3-\sqrt{8})^{2x+1}=\left(\frac{3}{3+\sqrt{8}}\right)^{2x+1} $$

Заметим, что

$$ 9=3^2,\qquad (3-\sqrt{8})(3+\sqrt{8})=9-8=1, $$

значит

$$ \frac{3}{3+\sqrt{8}}=3(3-\sqrt{8}). $$

Тогда

$$ 3^2(3-\sqrt{8})^{2x+1}=\bigl(3(3-\sqrt{8})\bigr)^{2x+1} =3^{2x+1}(3-\sqrt{8})^{2x+1}. $$

Сокращаем одинаковые множители:

$$ 3^2=3^{2x+1}. $$

Отсюда

$$ 2=2x+1,\qquad 2x=1,\qquad x=\frac12. $$

Ответ

а) $$14$$; б) $$\frac12$$.