Упр.12.10 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 12.10 а)3×2/9x=27; б)2×2/4x=4^4; в)7×2/49^3x=7^7; г)2^2×2/4^3x=4^4.

Подробный ответ

а) $$\frac{3^{x^2}}{9^x}=27.$$
Представим всё в виде степеней числа $$3$$:
$$9^x=(3^2)^x=3^{2x}, \quad 27=3^3.$$
Тогда
$$\frac{3^{x^2}}{3^{2x}}=3^3 \Rightarrow 3^{x^2-2x}=3^3.$$
Приравниваем показатели:
$$x^2-2x=3.$$
$$x^2-2x-3=0.$$
$$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot(-3)=4+12=16.$$
$$x=\frac{2\pm 4}{2}.$$
$$x_1=3,\quad x_2=-1.$$
б) $$\frac{2^{x^2}}{4^x}=4^4.$$
Запишем всё через основание $$2$$:
$$4^x=(2^2)^x=2^{2x}, \quad 4^4=(2^2)^4=2^8.$$
Тогда
$$\frac{2^{x^2}}{2^{2x}}=2^8 \Rightarrow 2^{x^2-2x}=2^8.$$
Следовательно,
$$x^2-2x=8.$$
$$x^2-2x-8=0.$$
$$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot(-8)=4+32=36.$$
$$x=\frac{2\pm 6}{2}.$$
$$x_1=4,\quad x_2=-2.$$
в) $$\frac{7^{x^2}}{49^{3x}}=7^7.$$
Так как $$49=7^2$$, получаем:
$$49^{3x}=(7^2)^{3x}=7^{6x}, \quad 7^7=7^7.$$
Тогда
$$\frac{7^{x^2}}{7^{6x}}=7^7 \Rightarrow 7^{x^2-6x}=7^7.$$
Следовательно,
$$x^2-6x=7.$$
$$x^2-6x-7=0.$$
$$D=(-6)^2-4\cdot 1\cdot(-7)=36+28=64.$$
$$x=\frac{6\pm 8}{2}.$$
$$x_1=7,\quad x_2=-1.$$
г) $$\frac{2^{2x^2}}{4^{3x}}=4^4.$$
Перейдём к основанию $$2$$:
$$4^{3x}=(2^2)^{3x}=2^{6x}, \quad 4^4=(2^2)^4=2^8.$$
Тогда
$$\frac{2^{2x^2}}{2^{6x}}=2^8 \Rightarrow 2^{2x^2-6x}=2^8.$$
Следовательно,
$$2x^2-6x=8.$$
$$x^2-3x-4=0.$$
$$D=(-3)^2-4\cdot 1\cdot(-4)=9+16=25.$$
$$x=\frac{3\pm 5}{2}.$$
$$x_1=4,\quad x_2=-1.$$