Упр.11.82 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Преобразуем показатель степени:

$$ \sin 4x+\sqrt{3}\cos 4x=2\left(\frac12\sin 4x+\frac{\sqrt3}{2}\cos 4x\right) =2\sin\left(4x+\frac{\pi}{3}\right). $$

Тогда

$$ y=20\cdot 5^{\sin 4x+\sqrt3\cos 4x} =20\cdot 5^{2\sin\left(4x+\frac{\pi}{3}\right)} =20\cdot 5^{2\sin\left(4x+\frac{\pi}{3}\right)-1}\cdot 5. $$

Удобнее сразу записать:

$$ y=20\cdot 5^{2\sin\left(4x+\frac{\pi}{3}\right)-1}. $$

Так как

$$ -1\le \sin\left(4x+\frac{\pi}{3}\right)\le 1, $$

то

$$ -2\le 2\sin\left(4x+\frac{\pi}{3}\right)\le 2, $$

$$ -3\le 2\sin\left(4x+\frac{\pi}{3}\right)-1\le 1. $$

Следовательно, для основания $5>1$ получаем:

$$ 5^{-3}\le 5^{2\sin\left(4x+\frac{\pi}{3}\right)-1}\le 5^1, $$

то есть

$$ \frac{1}{125}\le 5^{2\sin\left(4x+\frac{\pi}{3}\right)-1}\le 5. $$

Умножая на $20$, имеем:

$$ \frac{20}{125}\le y\le 100. $$

Минимальное целое значение функции равно $1$, а максимальное — $100$.

Ответ

$$1;\ 100.$$