Упр.11.81 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

Подробный ответ

а) Рассмотрим функции

$$f(x)=25\cos 2x-\sin^4 x,\qquad g(x)=25\cdot 5^{(\pi-x)^2}.$$

Преобразуем первую функцию:

$$\cos 2x=1-2\sin^2 x,$$

тогда

$$f(x)=25(1-2\sin^2 x)-\sin^4 x=-\sin^4 x-50\sin^2 x+25.$$

Обозначим $$t=\sin^2 x,$$ тогда $$0\le t\le 1$$ и

$$f(t)=-t^2-50t+25.$$

Это парабола, ветви направлены вниз, значит наибольшее значение достигается при $$t=0,$$ то есть при

$$\sin x=0 \quad \Rightarrow \quad x=\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$

Тогда

$$f_{\max}=25.$$

Теперь рассмотрим вторую функцию:

$$g(x)=25\cdot 5^{(\pi-x)^2}.$$

Так как $$ (\pi-x)^2\ge 0,$$ то

$$5^{(\pi-x)^2}\ge 1,$$

следовательно,

$$g(x)\ge 25.$$

Равенство $$g(x)=25$$ выполняется при

$$ (\pi-x)^2=0 \quad \Rightarrow \quad x=\pi.$$

Чтобы график $$y=f(x)$$ располагался не ниже графика $$y=g(x),$$ нужно, чтобы при наибольшем значении $$f(x)$$ выполнялось равенство с минимальным значением $$g(x).$$ Это происходит при

$$x=\pi.$$

б) Рассмотрим функции

$$f(x)=7^{\,1-|6x-5\pi|},\qquad g(x)=\sin^2 x-\sin x+7{,}25.$$

Для первой функции:

$$|6x-5\pi|\ge 0,$$

значит

$$1-|6x-5\pi|\le 1,$$

и потому

$$f(x)\le 7.$$

Равенство $$f(x)=7$$ достигается при

$$|6x-5\pi|=0 \quad \Rightarrow \quad x=\frac{5\pi}{6}.$$

Для второй функции положим $$t=\sin x.$$ Тогда