Упр.11.78 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 11.78. а) Найдите наибольшее целочисленное значение функции У = 10^(sin 2x cos3x + cos 2х sin 3х + 0,5). б) Сколько целых чисел принадлежит области значений функции у = 30 • 3^(соз2,5х cos3,5x^sin2,5x sin3,5x-2)?

а) Используем формулу суммы синуса и косинуса:

$$\sin 2x \cos 3x+\cos 2x \sin 3x=\sin(2x+3x)=\sin 5x.$$

Тогда

$$y=10^{\sin 5x+0,5}.$$

Так как $$-1\le \sin 5x \le 1,$$ то

$$-0,5\le \sin 5x+0,5 \le 1,5.$$

Наибольшее значение функции достигается при $$\sin 5x=1,$$ значит

$$y_{\max}=10^{1,5}=10\sqrt{10}\approx 31,6.$$

Наибольшее целочисленное значение равно $$31.$$

б) Преобразуем показатель степени:

$$\cos 2{,}5x\cos 3{,}5x+\sin 2{,}5x\sin 3{,}5x=\cos(2{,}5x-3{,}5x)=\cos x.$$

Тогда

$$y=30\cdot 3^{\cos x-2}.$$

Поскольку $$-1\le \cos x \le 1,$$ получаем

$$-3\le \cos x-2 \le -1.$$

Следовательно,

$$30\cdot 3^{-3}\le y \le 30\cdot 3^{-1},$$

то есть

$$\frac{10}{9}\le y \le 10.$$

Целые значения, принадлежащие этому промежутку: $$2,3,4,5,6,7,8,9,10.$$ Их $$9.$$

Ответ

а) $$31$$; б) $$9$$.