Упр.11.77 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 11.77 а) 2x-1 больше или равно корень x; б)(1/4)x меньше или равно корень x + 1; в)3x-1 больше или равно — корень x; г)(1/3)x больше или равно корень x + 1.

Подробный ответ

а) Рассмотрим функции $$y=2^x-1$$ и $$y=\sqrt{x}.$$
Область определения: $$x \ge 0.$$
Функция $$y=2^x-1$$ возрастает, а $$y=\sqrt{x}$$ тоже возрастает. Проверим точку пересечения:
$$ x=0:\quad 2^0-1=0,\quad \sqrt{0}=0; $$
$$ x=1:\quad 2^1-1=1,\quad \sqrt{1}=1. $$
При $$x \ge 1$$ имеем $$2^x-1 \ge \sqrt{x},$$ а при $$0 \le x \le 1$$ неравенство также выполняется только в точке $$x=0.$$
Следовательно,
$$ x \in \{0\}\cup[1;+\infty). $$
б) Рассмотрим функции $$y=\left(\frac14\right)^x$$ и $$y=\sqrt{x}+1.$$
Область определения: $$x \ge 0.$$
Функция $$y=\left(\frac14\right)^x$$ убывает, а $$y=\sqrt{x}+1$$ возрастает. Найдём точку пересечения:
$$ x=0:\quad \left(\frac14\right)^0=1,\quad \sqrt{0}+1=1. $$
Так как при $$x>0$$ левая часть убывает, а правая возрастает, то неравенство выполняется только при $$x=0.$$
$$ x=0. $$
в) Рассмотрим функции $$y=3^x-1$$ и $$y=-\sqrt{x}.$$
Область определения: $$x \ge 0.$$
Функция $$y=3^x-1$$ возрастает, а $$y=-\sqrt{x}$$ убывает. Проверим точку пересечения:
$$ x=0:\quad 3^0-1=0,\quad -\sqrt{0}=0. $$
Значит, при $$x \ge 0$$ неравенство выполняется.
$$ x \in [0;+\infty). $$
г) Рассмотрим функции $$y=\left(\frac13\right)^x$$ и $$y=\sqrt{x}+1.$$
Область определения: $$x \ge 0.$$
Функция $$y=\left(\frac13\right)^x$$ убывает, а $$y=\sqrt{x}+1$$ возрастает. Найдём точку пересечения:
$$ x=0:\quad \left(\frac13\right)^0=1,\quad \sqrt{0}+1=1. $$
При $$x>0$$ левая часть становится меньше правой, поэтому неравенство выполняется только при $$x=0.$$
$$ x=0. $$