Упр.11.76 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 11.76 а)|x-1| больше или равно 2,5x; б)|2x-1| меньше или равно 3,1x; в)2x меньше или равно |x-3|; г)(1/3)x больше или равно |x+4|.

Подробный ответ

а) $$|x-1|\ge 2{,}5^x.$$
Рассмотрим функции $$y_1=2{,}5^x$$ и $$y_2=|x-1|.$$
Точка их пересечения: при $$x=0$$ имеем $$2{,}5^0=1$$ и $$|0-1|=1.$$
При $$x\le 0$$ график $$y_1$$ не выше графика $$y_2$$, а при $$x>0$$ уже $$2{,}5^x>|x-1|.$$
Значит, $$|x-1|\ge 2{,}5^x$$ при
$$x\in(-\infty;0].$$
б) $$|2x-1|\le 3{,}1^x.$$
Рассмотрим функции $$y_1=3{,}1^x$$ и $$y_2=|2x-1|.$$
Они пересекаются при $$x=0$$, так как $$3{,}1^0=1$$ и $$|2\cdot 0-1|=1.$$
Для $$x<0$$ выполняется $$3{,}1^x<|2x-1|,$$ а для $$x\ge 0$$ — $$3{,}1^x\ge |2x-1|.$$
Следовательно,
$$x\in[0;+\infty).$$
в) $$2^x\le |x-3|.$$
Рассмотрим функции $$y_1=2^x$$ и $$y_2=|x-3|.$$
Точка пересечения: при $$x=1$$ имеем $$2^1=2$$ и $$|1-3|=2.$$
При $$x\le 1$$ график $$y_1$$ не выше графика $$y_2,$$ а при $$x>1$$ уже $$2^x>|x-3|.$$
Значит,
$$x\in(-\infty;1].$$
г) $$\left(\frac13\right)^x\ge |x+4|.$$
Рассмотрим функции $$y_1=\left(\frac13\right)^x$$ и $$y_2=|x+4|.$$
Они пересекаются при $$x=-1$$, так как
$$\left(\frac13\right)^{-1}=3,\qquad |-1+4|=3.$$
При $$x\le -1$$ выполняется $$\left(\frac13\right)^x\ge |x+4|,$$ а при $$x>-1$$ — нет.
Следовательно,
$$x\in(-\infty;-1].$$