Упр.11.75 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 11.75 а)2x+1 больше или равно cosx; б)2|x| + 1 > 2 cos x; в)2x меньше или равно |x+3|; г)(1/3)x больше или равно |x+4|.
а) $$2^x+1\ge \cos x$$
Так как $$2^x>0$$ при любом $$x$$, то
$$2^x+1>1.$$
А для косинуса известно, что
$$-1\le \cos x\le 1.$$
Следовательно, левая часть всегда больше или равна правой, значит неравенство верно при всех $$x$$.
Ответ: $$x\in(-\infty;+\infty).$$
б) $$2^{|x|}+1>2\cos x$$
Так как $$|x|\ge 0$$, то
$$2^{|x|}\ge 1,$$
значит
$$2^{|x|}+1\ge 2.$$
С другой стороны,
$$-1\le \cos x\le 1,$$
откуда
$$-2\le 2\cos x\le 2.$$
Равенство $$2^{|x|}+1=2\cos x$$ возможно только при $$x=0$$, так как тогда
$$2^{|0|}+1=2,\qquad 2\cos 0=2.$$
Но в неравенстве стоит строгий знак $$>$$, поэтому $$x=0$$ не подходит.
Ответ: $$x\in(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$
в) $$\left(\frac13\right)^x+1<\sin x$$
Так как $$\left(\frac13\right)^x>0$$ при любом $$x$$, то
$$\left(\frac13\right)^x+1>1.$$
А для синуса
$$-1\le \sin x\le 1.$$
Значит, левая часть всегда строго больше правой, поэтому решений нет.
Ответ: $$\varnothing.$$
г) $$3^{|x|}\le \cos 2x$$
Так как $$|x|\ge 0$$, то
$$3^{|x|}\ge 1.$$
При этом
$$-1\le \cos 2x\le 1.$$
Чтобы выполнялось неравенство $$3^{|x|}\le \cos 2x$$, нужно, чтобы обе части были равны $$1$$:
$$3^{|x|}=1,\qquad \cos 2x=1.$$
Из $$3^{|x|}=1$$ получаем $$|x|=0$$, то есть $$x=0$$. Проверка:
$$3^{|0|}=1,\qquad \cos 0=1.$$
Значит, $$x=0$$ — единственное решение.
Ответ: $$x=0.$$
