Упр.11.74 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 11.74 а)2x больше или равно 2/x; б)(1/4)x < -4/x; в)5x меньше или равно 5/x; г)(1/8)x > -8/x.

Подробный ответ

а) $$2^x \ge \frac{2}{x}$$
Область определения: $$x \ne 0$$.
Рассмотрим функции $$f(x)=2^x$$ и $$g(x)=\frac{2}{x}$$ при $$x>0$$. Функция $$f(x)$$ возрастает, а $$g(x)$$ убывает, значит, неравенство выполняется при всех $$x$$, начиная с точки их пересечения.
Проверим $$x=1$$:
$$2^1=2,\qquad \frac{2}{1}=2.$$
При $$x<0$$ правая часть отрицательна, а $$2^x>0$$, значит, неравенство тоже верно.
Следовательно, $$x \in (-\infty;0)\cup[1;+\infty).$$
б) $$\left(\frac14\right)^x<-\frac{4}{x}$$
Область определения: $$x \ne 0$$.
Функция $$f(x)=\left(\frac14\right)^x$$ убывает на $$\mathbb{R}$$, а функция $$g(x)=-\frac{4}{x}$$ возрастает на $$(-\infty;0)$$.
Найдём точку пересечения:
$$\left(\frac14\right)^{-1}=4,\qquad -\frac{4}{-1}=4.$$
Значит, решение:
$$x\in(-1;0).$$
в) $$5^x\le \frac{5}{x}$$
Область определения: $$x \ne 0$$.
Функция $$f(x)=5^x$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$, а функция $$g(x)=\frac{5}{x}$$ убывает на $$ (0;+\infty)$$.
Проверим точку пересечения:
$$5^1=5,\qquad \frac{5}{1}=5.$$
Тогда
$$x\in(0;1].$$
г) $$\left(\frac18\right)^x>-\frac{8}{x}$$
Область определения: $$x \ne 0$$.
Функция $$f(x)=\left(\frac18\right)^x$$ убывает на $$\mathbb{R}$$, а функция $$g(x)=-\frac{8}{x}$$ возрастает на $$(-\infty;0)$$.
Найдём точку пересечения:
$$\left(\frac18\right)^{-1}=8,\qquad -\frac{8}{-1}=8.$$
Следовательно,
$$x\in(-\infty;-1)\cup(0;+\infty).$$