Упр.11.73 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Решите неравенство: 11.73 а)3x больше или равно 4-x; б)(1/2)x меньше или равно x+3; в)5x < 6-x; г)(1/7)x > x+8.

1. а) $$3^x \ge 4-x$$

   Рассмотрим функции $$f(x)=3^x$$ и $$g(x)=4-x$$. Первая функция возрастает на $$\mathbb{R}$$, вторая убывает на $$\mathbb{R}$$. Найдём точку их пересечения:

   $$ 3^x=4-x $$

   Проверим значение $$x=1$$:

   $$ 3^1=3,\qquad 4-1=3 $$

   Значит, при $$x=1$$ функции равны. Так как $$3^x$$ возрастает, а $$4-x$$ убывает, то неравенство выполняется при

   $$x \ge 1.$$

2. б) $$\left(\frac12\right)^x \le x+3$$

   Функция $$f(x)=\left(\frac12\right)^x$$ убывает на $$\mathbb{R}$$, а функция $$g(x)=x+3$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$. Найдём точку пересечения:

   $$ \left(\frac12\right)^x=x+3 $$

   Проверим значение $$x=-1$$:

   $$ \left(\frac12\right)^{-1}=2,\qquad -1+3=2 $$

   Следовательно, неравенство выполняется при

   $$x \ge -1.$$

3. в) $$5^x < 6-x$$

   Функция $$f(x)=5^x$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$, а функция $$g(x)=6-x$$ убывает на $$\mathbb{R}$$. Найдём точку пересечения:

   $$ 5^x=6-x $$

   Проверим значение $$x=1$$:

   $$ 5^1=5,\qquad 6-1=5 $$

   Так как левая часть возрастает, а правая убывает, то при строгом неравенстве получаем

   $$x<1.$$

4. г) $$\left(\frac17\right)^x > x+8$$

   Функция $$f(x)=\left(\frac17\right)^x$$ убывает на $$\mathbb{R}$$, а функция $$g(x)=x+8$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$. Найдём точку пересечения:

   $$ \left(\frac17\right)^x=x+8 $$

   Проверим значение $$x=-1$$:

   $$ \left(\frac17\right)^{-1}=7,\qquad -1+8=7 $$

   Следовательно, при строгом неравенстве решение:

   $$x<-1.$$

Ответ

а) $$x \in [1;+\infty)$$; б) $$x \in [-1;+\infty)$$; в) $$x \in (-\infty;1)$$; г) $$x \in (-\infty;-1)$$.