Упр.11.71 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 11.71 а)y=2x, y=x-2; б)y=(2/5)x,y=x+1; в)y=(корень 2)x, y=x-4; г)y=(3/7)x, y=-x-2?

Подробный ответ

а) $$y=2^x,\quad y=x-2.$$

Функция $$y=2^x$$ возрастает, а прямая $$y=x-2$$ тоже возрастает. Проверим несколько значений:

$$ x=0:\quad 2^0=1,\quad 0-2=-2; $$
$$ x=1:\quad 2^1=2,\quad 1-2=-1; $$
$$ x=2:\quad 2^2=4,\quad 2-2=0. $$

При всех этих значениях $$2^x>x-2$$, а при уменьшении $$x$$ разность $$2^x-(x-2)$$ только увеличивается. Значит, неравенство выполняется при всех $$x$$.

б) $$y=\left(\frac25\right)^x,\quad y=x+1.$$

Функция $$y=\left(\frac25\right)^x$$ убывает, а $$y=x+1$$ возрастает. Найдём точку пересечения:

$$ x=0:\quad \left(\frac25\right)^0=1,\quad 0+1=1. $$

При $$x=0$$ графики пересекаются. Для $$x<0$$ имеем $$\left(\frac25\right)^x>1$$ и $$x+1<1$$, значит, $$\left(\frac25\right)^x>x+1$$. Для $$x>0$$ уже $$\left(\frac25\right)^x<1$$, а $$x+1>1$$, поэтому неравенство не выполняется.

Следовательно, решение:

$$ x\in(-\infty;0). $$

в) $$y=(\sqrt2)^x,\quad y=x-4.$$

Функция $$y=(\sqrt2)^x$$ возрастает, а прямая $$y=x-4$$ тоже возрастает. Проверим значения:

$$ x=0:\quad (\sqrt2)^0=1,\quad 0-4=-4; $$
$$ x=2:\quad (\sqrt2)^2=2,\quad 2-4=-2; $$
$$ x=4:\quad (\sqrt2)^4=4,\quad 4-4=0. $$

Во всех этих точках $$ (\sqrt2)^x>x-4 $$, а при меньших $$x$$ это неравенство сохраняется. Значит, оно верно при всех действительных $$x$$.

г) $$y=\left(\frac37\right)^x,\quad y=-x-2.$$

Функция $$y=\left(\frac37\right)^x$$ убывает, и прямая $$y=-x-2$$ тоже убывает. Проверим несколько значений:

$$ x=-2:\quad \left(\frac37\right)^{-2}=\frac{49}{9},\quad -(-2)-2=0; $$
$$ x=-1:\quad \left(\frac37\right)^{-1}=\frac73,\quad -(-1)-2=-1; $$
$$ x=0:\quad \left(\frac37\right)^0=1,\quad -0-2=-2. $$

Во всех случаях $$\left(\frac37\right)^x>-x-2$$, значит, неравенство выполняется при всех $$x$$.