Упр.11.69 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Решите уравнение: а)2x-1=корень x; б)(1/4)x=корень x + 1; в)3x-1=-корень x; г)(1/3)x=корень x — 2/3.

1. а) Рассмотрим уравнение $$2^x-1=\sqrt{x}.$$

   Функция $$y=2^x-1$$ возрастает, а функция $$y=\sqrt{x}$$ возрастает при $$x\ge 0$$. Проверим значения:

   $$x=0:\quad 2^0-1=0,\quad \sqrt{0}=0.$$

   $$x=1:\quad 2^1-1=1,\quad \sqrt{1}=1.$$

   Значит, решения: $$x=0$$ и $$x=1$$.

2. б) $$\left(\frac14\right)^x=\sqrt{x}+1.$$

   Левая часть убывает, правая возрастает, поэтому решение может быть только одно. Проверим $$x=0$$:

   $$\left(\frac14\right)^0=1,\quad \sqrt{0}+1=1.$$

   Следовательно, $$x=0$$.

3. в) $$3^x-1=-\sqrt{x}.$$

   Левая часть возрастает, правая часть $$-\sqrt{x}$$ убывает при $$x\ge 0$$, значит решение единственно. Проверим $$x=0$$:

   $$3^0-1=0,\quad -\sqrt{0}=0.$$

   Следовательно, $$x=0$$.

4. г) $$\left(\frac13\right)^x=\sqrt{x}-\frac23.$$

   Левая часть убывает, правая часть возрастает при $$x\ge 0$$, значит решение единственно. Проверим $$x=1$$:

   $$\left(\frac13\right)^1=\frac13,\quad \sqrt{1}-\frac23=\frac13.$$

   Следовательно, $$x=1$$.

Ответ

а) $$0,\,1$$; б) $$0$$; в) $$0$$; г) $$1$$.