Упр.11.68 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: a)5^(x-1)=1/x; б)3^(x+2)=27/x; в)(1/2)^(x+3)= -4/(x+2); г)(1/4)^(x-1)=1/2x.

Подробный ответ

$$5^{x-1}=\frac{1}{x}$$
Рассмотрим функции $$f(x)=5^{x-1}$$ и $$g(x)=\frac{1}{x}$$.
Функция $$f(x)$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$, а функция $$g(x)$$ убывает на $$(-\infty;0)$$ и $$\left(0;+\infty\right)$$. Значит, уравнение имеет не более одного решения.
Проверим $$x=1$$:
$$5^{1-1}=5^0=1,\qquad \frac{1}{1}=1.$$
Следовательно, $$x=1$$.
$$3^{x+2}=\frac{27}{x}$$
Рассмотрим функции $$f(x)=3^{x+2}$$ и $$g(x)=\frac{27}{x}$$.
Функция $$f(x)$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$, а функция $$g(x)$$ убывает на $$(-\infty;0)$$ и $$\left(0;+\infty\right)$$. Значит, уравнение имеет не более одного решения.
Проверим $$x=1$$:
$$3^{1+2}=3^3=27,\qquad \frac{27}{1}=27.$$
Следовательно, $$x=1$$.
$$\left(\frac{1}{2}\right)^{x+3}=-\frac{4}{x+2}$$
Рассмотрим функции $$f(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^{x+3}$$ и $$g(x)=-\frac{4}{x+2}$$.
Функция $$f(x)$$ убывает на $$\mathbb{R}$$, а функция $$g(x)$$ возрастает на $$(-\infty;-2)$$ и $$(-2;+\infty)$$. Значит, уравнение имеет не более одного решения.
Проверим $$x=-4$$:
$$\left(\frac{1}{2}\right)^{-4+3}=\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}=2,$$
$$-\frac{4}{-4+2}=-\frac{4}{-2}=2.$$
Следовательно, $$x=-4$$.
$$\left(\frac{1}{4}\right)^{x-1}=\frac{1}{2x}$$
Область допустимых значений: $$x\neq 0$$.
Рассмотрим функции $$f(x)=\left(\frac{1}{4}\right)^{x-1}$$ и $$g(x)=\frac{1}{2x}$$.
Функция $$f(x)$$ убывает на $$\mathbb{R}$$, а функция $$g(x)$$ убывает на $$(-\infty;0)$$ и $$\left(0;+\infty\right)$$. Поэтому решение ищем по графику или подбором.
Проверим $$x=2$$:
$$\left(\frac{1}{4}\right)^{2-1}=\frac{1}{4},\qquad \frac{1}{2\cdot 2}=\frac{1}{4}.$$
Следовательно, $$x=2$$.