Упр.11.64 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: а)3x=4-x; б)(1/2)x=x+3; в)5x=6-x; г)(1/7)x=x+8.

Подробный ответ

$$3^x=4-x$$
Функция $$y=3^x$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$, а функция $$y=4-x$$ убывает на $$\mathbb{R}$$. Значит, уравнение имеет единственное решение.
Проверим $$x=1$$:
$$3^1=3,\quad 4-1=3.$$
Следовательно, $$x=1$$.
$$\left(\frac12\right)^x=x+3$$
Функция $$y=\left(\frac12\right)^x$$ убывает на $$\mathbb{R}$$, а функция $$y=x+3$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$. Значит, уравнение имеет единственное решение.
Проверим $$x=-1$$:
$$\left(\frac12\right)^{-1}=2,\quad -1+3=2.$$
Следовательно, $$x=-1$$.
$$5^x=6-x$$
Функция $$y=5^x$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$, а функция $$y=6-x$$ убывает на $$\mathbb{R}$$. Значит, уравнение имеет единственное решение.
Проверим $$x=1$$:
$$5^1=5,\quad 6-1=5.$$
Следовательно, $$x=1$$.
$$\left(\frac17\right)^x=x+8$$
Функция $$y=\left(\frac17\right)^x$$ убывает на $$\mathbb{R}$$, а функция $$y=x+8$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$. Значит, уравнение имеет единственное решение.
Проверим $$x=-1$$:
$$\left(\frac17\right)^{-1}=7,\quad -1+8=7.$$
Следовательно, $$x=-1$$.