Упр.11.63 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: а)(3 корень 3)x больше или равно корень 3; б)(4 корень 3 степени 4)x меньше или равно корень 3 степени 4; в)(9 корень 3 степени 4)x меньше или равно 3 корень 3; г)(8 корень 5 степени 4)x больше или равно корень 3 степени 32.

а) $$\left(3\sqrt{3}\right)^x \ge \sqrt{3}.$$

Представим основания как степени числа $$\sqrt{3}$$:

$$\left(\sqrt{3}\right)^{2x}\cdot \left(\sqrt{3}\right)^x \ge \left(\sqrt{3}\right)^1,$$

$$\left(\sqrt{3}\right)^{3x} \ge \left(\sqrt{3}\right)^1.$$

Так как $$\sqrt{3} > 1$$, получаем:

$$3x \ge 1,$$

$$x \ge \frac{1}{3}.$$

б) $$\left(4\sqrt[3]{4}\right)^x \le \sqrt[3]{4}.$$

Запишем через степень числа $$\sqrt[3]{4}$$:

$$\left(\sqrt[3]{4}\right)^{3x}\cdot \left(\sqrt[3]{4}\right)^x \le \left(\sqrt[3]{4}\right)^1,$$

$$\left(\sqrt[3]{4}\right)^{4x} \le \left(\sqrt[3]{4}\right)^1.$$

Так как $$\sqrt[3]{4} > 1$$, имеем:

$$4x \le 1,$$

$$x \le \frac{1}{4}.$$

в) $$\left(9\sqrt[3]{9}\right)^x \le 3\sqrt{3}.$$

Представим всё через основание $$3$$:

$$\left(3^2\cdot 3^{2/3}\right)^x \le 3\cdot 3^{1/2},$$

$$3^{8x/3} \le 3^{3/2}.$$

Так как $$3 > 1$$, получаем:

$$\frac{8x}{3} \le \frac{3}{2},$$

$$16x \le 9,$$

$$x \le \frac{9}{16}.$$

г) $$\left(8\sqrt[5]{4}\right)^x \ge \sqrt[3]{32}.$$

Запишем через степень числа $$2$$:

$$\left(2^3\cdot 2^{2/5}\right)^x \ge 2^{5/3},$$

$$2^{17x/5} \ge 2^{5/3}.$$

Так как $$2 > 1$$, имеем:

$$\frac{17x}{5} \ge \frac{5}{3},$$

$$51x \ge 25,$$

$$x \ge \frac{25}{51}.$$

Ответ

а) $$x \in \left[\frac{1}{3}; +\infty\right);$$ б) $$x \in \left(-\infty; \frac{1}{4}\right];$$ в) $$x \in \left(-\infty; \frac{9}{16}\right];$$ г) $$x \in \left[\frac{25}{51}; +\infty\right).$$