Упр.11.58 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

а) $$y=\lvert 2^x+1\rvert+\lvert 1-2^x\rvert$$

Так как $$2^x>0$$ при любом $$x$$, то $$2^x+1>0$$ всегда. Знак второго модуля зависит от знака выражения $$1-2^x$$:

$$ 1-2^x\ge 0 \iff 2^x\le 1 \iff x\le 0. $$

Если $$x\le 0$$, то

$$ y=(2^x+1)+(1-2^x)=2. $$

Если $$x>0$$, то $$1-2^x<0$$, значит

$$ y=(2^x+1)+(2^x-1)=2^{x+1}. $$

Итак,

$$ y= \begin{cases} 2, & x\le 0,\\ 2^{x+1}, & x>0. \end{cases} $$

Для построения графика удобно взять несколько точек: $$x=0,\ 1,\ 2$$, тогда

$$ y(0)=2,\quad y(1)=4,\quad y(2)=8. $$

График состоит из горизонтального луча $$y=2$$ при $$x\le 0$$ и ветви показательной функции $$y=2^{x+1}$$ при $$x>0$$.

б) $$y=\lvert 0{,}5^x+1\rvert-\lvert 1-0{,}5^x\rvert$$

Так как $$0{,}5^x>0$$ при любом $$x$$, то $$0{,}5^x+1>0$$ всегда. Знак выражения $$1-0{,}5^x$$ зависит от $$x$$:

$$ 1-0{,}5^x\ge 0 \iff 0{,}5^x\le 1 \iff x\ge 0. $$

Если $$x\ge 0$$, то

$$ y=(0{,}5^x+1)-(1-0{,}5^x)=2\cdot 0{,}5^x=\left(\frac12\right)^{x-1}. $$

Если $$x<0$$, то $$1-0{,}5^x<0$$, значит

$$ y=(0{,}5^x+1)-(0{,}5^x-1)=2. $$

Следовательно,

$$ y= \begin{cases} 2, & x<0,\\ \left(\dfrac12\right)^{x-1}, & x\ge 0. \end{cases} $$

Для построения графика можно отметить точки $$x=0,\ 1,\ 2$$:

$$ y(0)=2,\quad y(1)=1,\quad y(2)=0{,}5. $$

График состоит из горизонтального луча $$y=2$$ при $$x<0$$ и убывающей показательной ветви при $$x\ge 0$$.

Ответ

$$ \text{а) } y= \begin{cases} 2, & x\le 0,\\ 2^{x+1}, & x>0; \end{cases} \qquad \text{б) } y= \begin{cases} 2, & x<0,\\ \left(\dfrac12\right)^{x-1}, & x\ge 0. \end{cases} $$