Упр.11.54 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 11.54. Дана функция у = f(x), где f(x) = система (1/4)x, если x больше или равно 0, cos х, если x > 0. а) Вычислите f(-3);f(-3/2); f(0); f(пи/4); f(3пи/2). б)Постройте и прочитайте график функции у = f(x).

Подробный ответ

Функция задана так:

$$ f(x)= \begin{cases} \left(\frac14\right)^x, & x\le 0,\\ \cos x, & x>0. \end{cases} $$

а) Найдём значения функции.

Если $$x\le 0,$$ используем формулу $$f(x)=\left(\frac14\right)^x.$$ Тогда

$$ f(-3)=\left(\frac14\right)^{-3}=4^3=64, $$

$$ f\left(-\frac32\right)=\left(\frac14\right)^{-\frac32}=4^{\frac32}=8, $$

$$ f(0)=\left(\frac14\right)^0=1. $$

Если $$x>0,$$ используем формулу $$f(x)=\cos x.$$ Тогда

$$ f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}, $$

$$ f\left(\frac{3\pi}{2}\right)=\cos\frac{3\pi}{2}=0. $$

б) Построим график функции.

При $$x\le 0$$ это график показательной функции $$y=\left(\frac14\right)^x.$$ Для построения удобно отметить точки:

$$ (-2,16),\;(-1,4),\;(0,1). $$

При $$x>0$$ это график функции $$y=\cos x.$$ Для него можно отметить точки:

$$ \left(0,1\right),\;\left(\pi,-1\right),\;\left(2\pi,1\right). $$

График всей функции состоит из двух частей: слева от нуля — экспонента $$y=\left(\frac14\right)^x,$$ справа от нуля — косинусоида $$y=\cos x.$$ В точке $$x=0$$ обе части дают значение $$1,$$ поэтому график проходит через точку $$\left(0,1\right).$$

По графику видно:

область определения: $$D(f)=(-\infty;+\infty);$$
область значений: $$E(f)=[-1;+\infty);$$
функция ни чётная, ни нечётная;
на промежутке $$(-\infty;0]$$ функция убывает;
на промежутках $$[2\pi n+\pi;2\pi n+2\pi]$$ функция возрастает, а на $$[2\pi n;2\pi n+\pi]$$ убывает, $$n\in\mathbb Z,\; n\ge 0;$$
наименьшее значение: $$y_{\min}=-1,$$ наибольшего значения нет.