Упр.11.53 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 11.53. Дана функция у = f(х)=система (1/2)x, где x < 0, корень x + 1, если х больше или равно 0. а) Вычислите f(-5); f(-2,5); f(0); f(4); f(1,69). б) Постройте и прочитайте график функции у = f(x).

Функция задана по частям:

$$ f(x)= \begin{cases} \left(\dfrac12\right)^x, & x<0,\\ \sqrt{x}+1, & x\ge 0. \end{cases} $$

а) Найдём значения функции:

$$ f(-5)=\left(\dfrac12\right)^{-5}=2^5=32; $$

$$ f(-2{,}5)=\left(\dfrac12\right)^{-2{,}5}=2^{2{,}5}=2^2\cdot 2^{0{,}5}=4\sqrt2; $$

$$ f(0)=\sqrt0+1=1; $$

$$ f(4)=\sqrt4+1=2+1=3; $$

$$ f(1{,}69)=\sqrt{1{,}69}+1=1{,}3+1=2{,}3. $$

б) Построим график функции.

При $$x<0$$ график задаёт показательная функция $$y=\left(\dfrac12\right)^x$$. Для построения удобно взять точки:

$$ (-3;8),\;(-2;4),\;(0;1). $$

При $$x\ge 0$$ график задаёт ветвь параболы, полученная из функции $$y=\sqrt{x}+1$$. Для построения возьмём точки:

$$ (0;1),\;(4;3),\;(9;4). $$

График состоит из двух частей, которые соединяются в точке $$ (0;1) $$.

По графику:

• $$D(f)=(-\infty;+\infty)$$;
• $$E(f)=[1;+\infty)$$;
• функция ни чётная, ни нечётная;
• убывает на $$(-\infty;0]$$ и возрастает на $$[0;+\infty)$$;
• наименьшее значение равно $$1$$, наибольшего значения нет;
• функция непрерывна на всей области определения.

Ответ

$$ f(-5)=32,\quad f(-2{,}5)=4\sqrt2,\quad f(0)=1,\quad f(4)=3,\quad f(1{,}69)=2{,}3. $$

$$ D(f)=(-\infty;+\infty),\quad E(f)=[1;+\infty). $$