Упр.11.52 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 11.52. Дана функция у = f(x), где f(x) = система 4x, x < 1, -Х2 + 1, если х больше или равно 1. а) Вычислите f(-3); f(-2,5); f(0); f(1); f(2). б) Постройте и прочитайте график функции у = f(х).

Функция задана так:

$$ f(x)= \begin{cases} 4^x, & x<1,\\ -x^2+1, & x\ge 1. \end{cases} $$

а) Найдём значения функции.

Так как $$-3<1,$$ $$-2{,}5<1,$$ $$0<1,$$ то для этих аргументов используем формулу $$f(x)=4^x.$$

$$ f(-3)=4^{-3}=\frac{1}{4^3}=\frac{1}{64}; $$

$$ f(-2{,}5)=4^{-2{,}5}=4^{-5/2}=2^{-5}=\frac{1}{32}; $$

$$ f(0)=4^0=1. $$

Так как $$1\ge 1$$ и $$2\ge 1,$$ используем формулу $$f(x)=-x^2+1.$$

$$ f(1)=-1^2+1=-1+1=0; $$

$$ f(2)=-2^2+1=-4+1=-3. $$

б) Построим график функции.

При $$x<1$$ это график показательной функции $$y=4^x.$$ Для него удобно отметить точки:

$$ (0;1),\quad (1;4). $$

Но точка $$x=1$$ не входит в эту часть графика, поэтому в точке $$ (1;4) $$ ставим пустую точку.

При $$x\ge 1$$ это часть параболы $$y=-x^2+1.$$ Для построения отметим точки:

$$ (1;0),\quad (2;-3),\quad (3;-8). $$

Точка $$ (1;0) $$ входит в график, поэтому она закрашена.

Итак, график состоит из двух частей: слева — ветвь показательной функции $$y=4^x$$ при $$x<1,$$ справа — ветвь параболы $$y=-x^2+1$$ при $$x\ge 1.$$

По графику получаем:

• $$D(f)=(-\infty;+\infty);$$
• $$E(f)=(-\infty;4);$$
• функция ни чётная, ни нечётная;
• возрастает на луче $$(-\infty;1),$$ убывает на луче $$[1;+\infty);$$
• горизонтальная асимптота при $$x\to -\infty$$: $$y=0;$$
• наибольшего значения не имеет, наименьшего значения не имеет;
• непрерывна на интервалах $$(-\infty;1)$$ и $$ (1;+\infty);$$
• в точке $$x=1$$ функция не дифференцируема.

Ответ

$$ f(-3)=\frac{1}{64},\quad f(-2{,}5)=\frac{1}{32},\quad f(0)=1,\quad f(1)=0,\quad f(2)=-3. $$

$$ D(f)=(-\infty;+\infty),\qquad E(f)=(-\infty;4). $$