Упр.11.51 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 11.51. Дана функция у = f(x), где f(x) = система 2x, x больше или равно 0, 3х + 1, если х < 0. а) Вычислите f(-3); f(-2,5); f(0); f(2); f(3,5). б) Постройте и прочитайте график функции у = f(х).

Функция задана формулой

$$ f(x)= \begin{cases} 2^x, & x \ge 0,\\ 3x+1, & x<0. \end{cases} $$

а) Найдём значения функции:

$$ f(-3)=3\cdot(-3)+1=-9+1=-8; $$

$$ f(-2{,}5)=3\cdot(-2{,}5)+1=-7{,}5+1=-6{,}5; $$

$$ f(0)=2^0=1; $$

$$ f(2)=2^2=4; $$

$$ f(3{,}5)=2^{3{,}5}=2^3\cdot 2^{0{,}5}=8\sqrt{2}. $$

б) Построим график функции.

При $$x<0$$ график задаётся прямой $$y=3x+1$$. Для построения удобно взять точки:

$$ x=-1,\quad y=-2; $$

$$ x=0,\quad y=1. $$

При $$x\ge 0$$ график задаётся функцией $$y=2^x$$. Для построения удобно взять точки:

$$ x=0,\quad y=1; $$

$$ x=1,\quad y=2; $$

$$ x=3,\quad y=8. $$

Итак, график состоит из двух частей: при $$x<0$$ — часть прямой $$y=3x+1$$, при $$x\ge 0$$ — ветвь показательной функции $$y=2^x$$. Обе части соединяются в точке $$\left(0;1\right)$$.

Свойства функции:

• $$D(f)=(-\infty;+\infty), \quad E(f)=(-\infty;+\infty);$$
• функция ни чётная, ни нечётная;
• возрастает на всей числовой прямой;
• не ограничена ни сверху, ни снизу;
• наибольшего и наименьшего значений не имеет;
• непрерывна на всей области определения;
• дифференцируема при $$x\ne 0$$.

Ответ

$$ f(-3)=-8,\quad f(-2{,}5)=-6{,}5,\quad f(0)=1,\quad f(2)=4,\quad f(3{,}5)=8\sqrt{2}. $$

График функции состоит из прямой $$y=3x+1$$ при $$x<0$$ и графика $$y=2^x$$ при $$x\ge 0$$, соединённых в точке $$\left(0;1\right)$$.