Упр.11.47 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 11.47 а) y=(0,5x- 9)/((корень 0,5x) + 3; y=(216x-8)/(36x+2*6x+4); y=(1,21x-4)/((корень 1,21x) — 2); y=(64x+1)/(16x- 4x+1).

Подробный ответ

а)
$$y=\frac{0{,}5^x-9}{\sqrt{0{,}5^x}+3}=\frac{\left(\sqrt{0{,}5^x}-3\right)\left(\sqrt{0{,}5^x}+3\right)}{\sqrt{0{,}5^x}+3}=\sqrt{0{,}5^x}-3.$$
Так как $$0{,}5^x>0,$$ то $$\sqrt{0{,}5^x}>0.$$ Следовательно,
$$y=\sqrt{0{,}5^x}-3>-3.$$
Значит, $$E(y)=(-3;+\infty).$$
б)
$$y=\frac{216^x-8}{36^x+2\cdot 6^x+4}=\frac{(6^x-2)(36^x+2\cdot 6^x+4)}{36^x+2\cdot 6^x+4}=6^x-2.$$
Так как $$6^x>0,$$ то $$y>-2.$$
Значит, $$E(y)=(-2;+\infty).$$
в)
$$y=\frac{1{,}21^x-4}{\sqrt{1{,}21^x}-2}=\frac{\left(\sqrt{1{,}21^x}-2\right)\left(\sqrt{1{,}21^x}+2\right)}{\sqrt{1{,}21^x}-2}=\sqrt{1{,}21^x}+2.$$
При этом $$\sqrt{1{,}21^x}-2\ne 0,$$ то есть $$\sqrt{1{,}21^x}\ne 2.$$ Тогда
$$y=\sqrt{1{,}21^x}+2>2.$$
Значение $$y=4$$ не достигается, так как оно получается только при $$\sqrt{1{,}21^x}=2,$$ а это запрещено.
Следовательно, $$E(y)=(2;4)\cup(4;+\infty).$$
г)
$$y=\frac{64^x+1}{16^x-4^x+1}=\frac{(4^x+1)(16^x-4^x+1)}{16^x-4^x+1}=4^x+1.$$
Так как $$4^x>0,$$ то $$y>1.$$
Значит, $$E(y)=(1;+\infty).$$