Упр.11.46 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 11.46 а) y=(0,5^2x — 16)/(0,5^x — 4); б)y=(2^3x 27)/(2^2x + 3*2x+ 9); в)y=(2,5^2x — 25)/(2,5x + 5); г)y= (4^3x + 125)/(4^2x — 5 * 4x + 25).

1. а)

   $$y=\frac{0{,}5^{2x}-16}{0{,}5^x-4}=\frac{(0{,}5^x-4)(0{,}5^x+4)}{0{,}5^x-4}=0{,}5^x+4.$$

   Так как $$0{,}5^x>0,$$ то $$y>4.$$
   При этом знаменатель не должен обращаться в нуль:
   $$0{,}5^x-4\ne 0 \;\Rightarrow\; 0{,}5^x\ne 4.$$
   Тогда
   $$y\ne 4+4=8.$$
   Значит,
   $$E(y)=(4;8)\cup(8;+\infty).$$

2. б)

   $$y=\frac{2^{3x}-27}{2^{2x}+3\cdot 2^x+9}=\frac{(2^x-3)(2^{2x}+3\cdot 2^x+9)}{2^{2x}+3\cdot 2^x+9}=2^x-3.$$

   Так как $$2^x>0,$$ то
   $$y=2^x-3>-3.$$
   Следовательно,
   $$E(y)=(-3;+\infty).$$

3. в)

   $$y=\frac{2{,}5^{2x}-25}{2{,}5^x+5}=\frac{(2{,}5^x-5)(2{,}5^x+5)}{2{,}5^x+5}=2{,}5^x-5.$$

   Так как $$2{,}5^x>0,$$ то
   $$y=2{,}5^x-5>-5.$$
   Значит,
   $$E(y)=(-5;+\infty).$$

4. г)

   $$y=\frac{4^{3x}+125}{4^{2x}-5\cdot 4^x+25}=\frac{(4^x+5)(4^{2x}-5\cdot 4^x+25)}{4^{2x}-5\cdot 4^x+25}=4^x+5.$$

   Так как $$4^x>0,$$ то
   $$y=4^x+5>5.$$
   Следовательно,
   $$E(y)=(5;+\infty).$$

Ответ

а) $$E(y)=(4;8)\cup(8;+\infty);$$
б) $$E(y)=(-3;+\infty);$$
в) $$E(y)=(-5;+\infty);$$
г) $$E(y)=(5;+\infty).$$