Упр.11.40 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 11.40. Докажите, что для функции y = f(х), где f(х) =1/3 выполняется равенство: а) f(x1) * f(х2) = f(х1 + х2); б) f(х — 1) * f(3х) = 3f4(x); в) f(-5x)=1/f5(x); г)f(sin2 х) =1/ корень 3f(cos2x)

Пусть $$f(x)=\left(\frac13\right)^x.$$ Используем свойства степени:

$$a^m\cdot a^n=a^{m+n}, \qquad \frac1{a^n}=a^{-n}, \qquad (a^m)^n=a^{mn}.$$

1. $$f(x_1)\cdot f(x_2)=\left(\frac13\right)^{x_1}\cdot \left(\frac13\right)^{x_2} =\left(\frac13\right)^{x_1+x_2}=f(x_1+x_2).$$

2. $$f(x-1)\cdot f(3x)=\left(\frac13\right)^{x-1}\cdot \left(\frac13\right)^{3x} =\left(\frac13\right)^{4x-1}.$$

   $$3f^4(x)=3\left(\left(\frac13\right)^x\right)^4 =3\left(\frac13\right)^{4x} =\left(\frac13\right)^{-1}\left(\frac13\right)^{4x} =\left(\frac13\right)^{4x-1}.$$

   Следовательно, $$f(x-1)\cdot f(3x)=3f^4(x).$$

3. $$f(-5x)=\left(\frac13\right)^{-5x}=3^{5x}.$$

   $$\frac1{f^5(x)}=\frac1{\left(\left(\frac13\right)^x\right)^5} =\frac1{\left(\frac13\right)^{5x}} =3^{5x}.$$

   Значит, $$f(-5x)=\frac1{f^5(x)}.$$

4. $$f(\sin^2 x)=\left(\frac13\right)^{\sin^2 x} =\left(\frac13\right)^{\frac{1-\cos 2x}{2}}.$$

   $$\frac1{\sqrt{3f(\cos 2x)}}= \frac1{\sqrt{3\left(\frac13\right)^{\cos 2x}}} =\frac1{\sqrt{\left(\frac13\right)^{-1}\left(\frac13\right)^{\cos 2x}}} =\frac1{\sqrt{\left(\frac13\right)^{\cos 2x-1}}}.$$

   $$\frac1{\sqrt{\left(\frac13\right)^{\cos 2x-1}}} =\left(\frac13\right)^{\frac{1-\cos 2x}{2}} =f(\sin^2 x).$$

   Следовательно, $$f(\sin^2 x)=\frac1{\sqrt{3f(\cos 2x)}}.$$

Ответ

а) $$f(x_1)\cdot f(x_2)=f(x_1+x_2);$$
б) $$f(x-1)\cdot f(3x)=3f^4(x);$$
в) $$f(-5x)=\frac1{f^5(x)};$$
г) $$f(\sin^2 x)=\frac1{\sqrt{3f(\cos 2x)}}.$$