Упр.11.39 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 11.39. Докажите, что для функции у = f(x), где f(x) = 2x выполняется равенство: а) f(x1) * f(x2) = f(x1 + х2); б) f(х + 1) * f(2х) = 2f3(x); в) f(-2x)=1/f2(x); г) f(cos2 х) = корень 2f(cos 2х).

Пусть $$f(x)=2^x.$$ Докажем равенства по пунктам.

1. $$f(x_1)\cdot f(x_2)=2^{x_1}\cdot 2^{x_2}=2^{x_1+x_2}=f(x_1+x_2).$$

2. $$f(x+1)\cdot f(2x)=2^{x+1}\cdot 2^{2x}=2^{3x+1}.$$

   С другой стороны,
   $$2f^3(x)=2\cdot (2^x)^3=2\cdot 2^{3x}=2^{3x+1}.$$

   Следовательно, $$f(x+1)\cdot f(2x)=2f^3(x).$$

3. $$f(-2x)=2^{-2x}=\frac{1}{2^{2x}}.$$

   А так как
   $$f^2(x)=(2^x)^2=2^{2x},$$
   то
   $$\frac{1}{f^2(x)}=\frac{1}{2^{2x}}.$$

   Значит, $$f(-2x)=\frac{1}{f^2(x)}.$$

4. $$f(\cos^2 x)=2^{\cos^2 x}.$$

   Используем формулу
   $$\cos 2x=2\cos^2 x-1,$$
   откуда
   $$\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}.$$

   Тогда
   $$f(\cos^2 x)=2^{\frac{1+\cos 2x}{2}}=\sqrt{2^{1+\cos 2x}}=\sqrt{2\cdot 2^{\cos 2x}}=\sqrt{2f(\cos 2x)}.$$

Ответ

Все равенства доказаны.