Упр.11.38 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 11.38. На каком отрезке функция у = (1/3)x принимает: а) наибольшее значение, равное 81, и наименьшее, равное 1/27; б) наибольшее значение, равное 1/корень 3, и наибольшее, равное 1/корень 7 степени 9?
Функция $$y=\left(\frac13\right)^x$$ убывает, так как основание $$\frac13<1$$. Значит, на отрезке наибольшее значение достигается в левой границе, а наименьшее — в правой.
а) $$y_{\max}=81,\quad y_{\min}=\frac1{27}.$$
Представим значения в виде степеней числа $$\frac13$$:
$$ 81=3^4=\left(\frac13\right)^{-4},\qquad \frac1{27}=\frac1{3^3}=\left(\frac13\right)^3. $$
Тогда искомый отрезок:
$$ [-4;\,3]. $$
б) $$y_{\max}=\frac1{\sqrt3},\quad y_{\min}=\frac1{\sqrt[7]{9}}.$$
Запишем данные числа как степени числа $$\frac13$$:
$$ \frac1{\sqrt3}=\frac1{3^{1/2}}=\left(\frac13\right)^{1/2}, \qquad \frac1{\sqrt[7]{9}}=\frac1{(3^2)^{1/7}}=\frac1{3^{2/7}}=\left(\frac13\right)^{2/7}. $$
Так как функция убывает, большему значению функции соответствует меньший показатель степени. Поэтому искомый отрезок:
$$ \left[\frac27;\,\frac12\right]. $$
Ответ
а) $$[-4;\,3]$$; б) $$\left[\frac27;\,\frac12\right]$$.
