Упр.11.36 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 11.36. а) у = 32 * 2^(х-6) — 5, [-1; 2]; б) у = 8*(1/2)^(x-4) +10, [-2;3]; в) у = 27 * 3^(-х-2) + 4, [1; 3]; г) у = 125 * 5^(-х-4) — 12, [-2; 0].
а) $$y=32\cdot 2^{x-6}-5,\quad [-1;2]$$
Преобразуем:
$$32\cdot 2^{x-6}=2^5\cdot 2^{x-6}=2^{x-1}$$
Значит, $$y=2^{x-1}-5$$. Так как основание $$2>1$$, функция возрастает на всём промежутке.
Следовательно, на $$[-1;2]$$:
$$y_{\min}=y(-1)=2^{-2}-5=\frac14-5=-\frac{19}{4}=-4{,}75$$
$$y_{\max}=y(2)=2^1-5=2-5=-3$$
б) $$y=8\left(\frac12\right)^{x-4}+10,\quad [-2;3]$$
Преобразуем:
$$8\left(\frac12\right)^{x-4}=2^3\left(\frac12\right)^{x-4}=2^3\cdot 2^{4-x}=2^{7-x}$$
Так как $$\frac12<1$$, функция убывает.
Значит, на $$[-2;3]$$:
$$y_{\max}=y(-2)=8\left(\frac12\right)^{-6}+10=8\cdot 64+10=522$$
$$y_{\min}=y(3)=8\left(\frac12\right)^{-1}+10=8\cdot 2+10=26$$
в) $$y=27\cdot 3^{-x-2}+4,\quad [1;3]$$
Преобразуем:
$$27\cdot 3^{-x-2}=3^3\cdot 3^{-x-2}=3^{1-x}=\left(\frac13\right)^{x-1}$$
Так как $$\frac13<1$$, функция убывает.
Следовательно, на $$[1;3]$$:
$$y_{\max}=y(1)=27\cdot 3^{-3}+4=1+4=5$$
$$y_{\min}=y(3)=27\cdot 3^{-5}+4=\frac{1}{9}+4=\frac{37}{9}=4\frac19$$
г) $$y=125\cdot 5^{-x-4}-12,\quad [-2;0]$$
Преобразуем:
$$125\cdot 5^{-x-4}=5^3\cdot 5^{-x-4}=5^{-x-1}=\left(\frac15\right)^{x+1}$$
Так как $$\frac15<1$$, функция убывает.
Значит, на $$[-2;0]$$:
$$y_{\max}=y(-2)=125\cdot 5^{-2}-12=125\cdot \frac1{25}-12=5-12=-7$$
$$y_{\min}=y(0)=125\cdot 5^{-4}-12=125\cdot \frac1{625}-12=\frac15-12=-11{,}8$$
Ответ
а) $$y_{\min}=-4{,}75,\; y_{\max}=-3$$;
б) $$y_{\min}=26,\; y_{\max}=522$$;
в) $$y_{\min}=4\frac19,\; y_{\max}=5$$;
г) $$y_{\min}=-11{,}8,\; y_{\max}=-7$$.
