Упр.11.34 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном промежутке: 11.34 а)y=(корень 2)x,(-бесконечность;4]; б)y=(1/корень 3)x, (-бесконечность;2]; в)y=(корень 3 степени 5)x, [0;+бесконечность); г)y=(1/корень 7)x , [-2;+бесконечность).
Для показательной функции $$y=a^x$$ важно, больше или меньше единицы основание $$a$$.
- если $$a>1$$, функция возрастает;
- если $$0<a<1$$, функция убывает.
$$y=(\sqrt{2})^x,\quad (-\infty;4]$$
Так как $$\sqrt{2}>1$$, функция возрастает. Значит, наибольшее значение достигается при $$x=4$$:
$$y(4)=(\sqrt{2})^4=2^2=4.$$
Наименьшего значения на промежутке $$(-\infty;4]$$ нет, так как при $$x\to -\infty$$ значение функции стремится к $$0$$, но не достигает его.
$$y=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^x,\quad (-\infty;2]$$
Так как $$0<\frac{1}{\sqrt{3}}<1$$, функция убывает. Значит, наименьшее значение достигается при $$x=2$$:
$$y(2)=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2=\frac{1}{3}.$$
Наибольшего значения на промежутке $$(-\infty;2]$$ нет.
$$y=(\sqrt[3]{5})^x,\quad [0;+\infty)$$
Так как $$\sqrt[3]{5}>1$$, функция возрастает. Тогда наименьшее значение достигается при $$x=0$$:
$$y(0)=(\sqrt[3]{5})^0=1.$$
Наибольшего значения на промежутке $$[0;+\infty)$$ нет.
$$y=\left(\frac{1}{\sqrt{7}}\right)^x,\quad [-2;+\infty)$$
Так как $$0<\frac{1}{\sqrt{7}}<1$$, функция убывает. Значит, наибольшее значение достигается при $$x=-2$$:
$$y(-2)=\left(\frac{1}{\sqrt{7}}\right)^{-2}=(\sqrt{7})^2=7.$$
Наименьшего значения на промежутке $$[-2;+\infty)$$ нет.
Ответ
а) $$y_{\max}=4$$, $$y_{\min}$$ не существует; б) $$y_{\min}=\frac{1}{3}$$, $$y_{\max}$$ не существует; в) $$y_{\min}=1$$, $$y_{\max}$$ не существует; г) $$y_{\max}=7$$, $$y_{\min}$$ не существует.
